Czym są liczby naturalne?
\(N = 0,\: 1, 2, \:3, \:4, \:5, \:6, ...\)
Liczby naturalne służą do podawania liczności (określają liczności zbiorów skończonych) oraz ustalania kolejności (określają porządek w zbiorach skończonych i przeliczalnych). Zbiór liczb naturalnych oznaczany jako \(N\) jest zbiorem nieskończonym, co oznacza, że największa liczba naturalna nie istnieje. W zbiorze liczb naturalnych można wykonywać działania dodawania i mnożenia. Moc zbioru liczb naturalnych wynosi alef zero \(\aleph_0\).
Zbiór liczb naturalnych \(N\) jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki:
- \(0 \in N\),
- jeśli \(n \in N\), to \(n + 1 \in N\)
To czy 0 jest liczbą naturalną, jest kwestią umowną. Niektórzy za najmniejszą liczbę naturalną uważają 0 a inni 1, jednak zgodnie z najpopularniejszą definicją liczba O jest liczbą naturalną.
Definicja zbioru liczb naturalnych
Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych zajęło matematykom dużo czasu. Zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano) zaproponowane przez Giuseppe Peano:
- istnieje liczba naturalna 0,
- każda liczba naturalna ma swój następnik,
- 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
- różne liczby naturalne mają różne następniki,
- jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).
Liczby naturalne Wasze opinie