NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność - opis

Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dotyczy tylko liczb naturalnych. Jest to taka najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez te dowolne liczby naturalne. Najmniejsza wspólna wielokrotność najczęściej używana jest w znajdowaniu wspólnego mianownika.

Mając liczby \(3\) i \(4\) można wypisać ich wielokrotności w następujący sposób:

wielokrotności liczby \(3\) - \(3;6;9;{\color{DarkRed}{12}}; 15; 18; 21; {\color{DarkRed}{24}}; 27; 30; 33; {\color{DarkRed}{36}}; \cdots\),

wielokrotności liczby \(4\) - \(4;8; {\color{DarkRed}{12}} ;16;20; {\color{DarkRed}{24}}; 28; 32; {\color{DarkRed}{36}} ;\cdots\),

kolorem zaznaczono wielokrotności powtarzające się, jednak najmniejsza wspólna wielokrotność jest tylko jedna, jest nią najmniejsza z oznaczonych na czerwono liczb, czyli:

\(NWW(3;4)=12\)

Mając liczby \(6\) oraz \(9\) możemy powiedzieć, że ich wielokrotnością, są liczby \(18\), \(36\), \(54\) …i tak dalej, ale najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to \(12\). Zapisujemy to w następujący sposób:

\(NWW(6; 4)=12\)

Jak obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność?

Najprostszą metodą jest obie liczby rozłożyć na czynniki pierwsze, następnie zakreślić czynniki, które się powtarzają w obu rozkładach, teraz bierzemy pierwszą liczbę i czynniki niezakreślone z drugiego rozkładu i mnożymy przez siebie. Przykład wyjaśni zasadę:

\(\left.\begin{matrix}
{\color{DarkRed}{30}}\\
15\\
3\\
1
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
(2)\\
5\\
(3)\\
\\
\end{matrix}
\:\:\:\:\:
\left.\begin{matrix}
36\\
18\\
9\\
3\\
1
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
(2)\\
{\color{DarkRed} 2}\\
(3)\\
{\color{DarkRed}3}\\
\\
\end{matrix}\)

więc:

\(NWW(30;36)=30\cdot 2\cdot 3=180\)

lub

\(NWW(30;36)=36\cdot 5=180\)

Jeśli spotkamy się z potrzebą obliczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności z więcej niż dwóch liczb, to polecam pogrupować je parami i liczyć najpierw po dwie, następnie ich wyniki łączyć w pary i ponownie obliczyć.

Jest kilka sposobów na obliczanie NWW, jednak te zaprezentowane powyżej są najczęściej używane. Często oblicza się NWW i NWD (największy wspólny dzielnik), jeśli jedno mamy wyliczone to drugie można wyliczyć z wzoru:

\(NWW(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{NWD(a,b)}\)

Przykładowe zadania

Zad. 1) Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb:

a) 12 ; 30     b) 75 , 50     c) 60 , 40     d) 42 , 56

Zobacz rozwiązanie