NWD - Największy wspólny dzielnik - opis

Największy wspólny dzielnik (NWD)– to liczba naturalna, przez którą można podzielić dowolną parę liczb całkowitych, tak aby z dzielenia nie została reszta. Najczęściej NWD używany jest do skracania ułamków. NWD to wartość, przez którą można skrócić dwie liczby w ułamku. Po takim skróceniu już bardziej skrócić się nie da. Pojęcie największego wspólnego dzielnika oznacza się:

\(NWD(a,b)\)

gdzie:

\(a\: , b\) – liczby dla których poszukiwany jest największy wspólny dzielnik.

Największy wspólny dzielnik może być poszukiwany dla dowolnej ilości liczb, najczęściej jednak należy znaleźć go dla dwóch liczb.

Jak znajduje się największy wspólny dzielnik?

Mając dwie liczby, rozkładamy je na czynniki pierwsze, następnie wybieramy te, które się powtarzają w obu liczbach i mnożymy je przez siebie.

Przykład 1

\(\left.\begin{matrix}
150\\
75\\
15\\
3\\
1
\end{matrix} \right|
\begin{matrix}
{\color{DarkRed}2}\\
5\\
{\color{DarkRed}5}\\
{\color{DarkRed}3}\\
\\
\\
\end{matrix} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \left.\begin{matrix}
120\\
60\\
30\\
15\\
5\\
1
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
{\color{DarkRed}2}\\
2\\
2\\
{\color{DarkRed}3}\\
{\color{DarkRed}5}\\
\\
\\
\end{matrix}\)

W obu rozkładach na czynniki pierwsze pojawiają się liczby \(2;3;5\), dlatego największy wspólny dzielnik będzie iloczynem tych liczb

\(NWD(150;120)=2\cdot 3\cdot 5=30\)


Przykład 2

\(\left.\begin{matrix}
198\\
99\\
33\\
11\\
1
\end{matrix} \right|
\begin{matrix}
2\\
{\color{DarkRed}3}\\
3\\
{\color{DarkRed}{11}}\\
\\
\end{matrix} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \left.\begin{matrix}
231\\
77\\
7\\
1\\
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
{\color{DarkRed}3}\\
{\color{DarkRed}{11}}\\
7\\
\\
\end{matrix}\)

\(NWD(198; 231)=3\cdot 11=33\)

Jest to sposób, który występuje w programie nauczania, często jednak bardziej efektywnym sposobem jest „dzielenie z resztą”. Najlepiej wyjaśnić go na przykładzie. Szukając największego wspólnego dzielnika liczb 70 i 28, należy je podzielić przez siebie, wynikiem jest 2 oraz 14 reszty. Następnie 28 dzielimy przez resztę, czyli 14, otrzymujemy 2 i zero reszty, oznacza to, że 14 jest największym wspólnym dzielnikiem.

\(\left.\begin{matrix}
70\\
28\\
\end{matrix} \right|
\begin{matrix}
: 28 = 2 \: i\: 14\: reszty\\ 
: {\color{DarkRed}{14}} = 2 \: i \: 0\:  reszty\\
\end{matrix} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \left.\begin{matrix}
550\\
325\\
225\\
100\\
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
: 325= 1 \:i\:  225 \: reszty\\
: 225=1 \: i \: 100 \: reszty\\
: 100=2\: i \: 25 \: reszty\\
: {\color{DarkRed}{25}}=4 \: i \: 0 reszty\\
\end{matrix}\)

\(NWD(70;28)=14 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:NWD(550;325)=25\)

W matematyce występuje jeszcze wiele sposobów na obliczenie NWD, jednak te dwie zaprezentowane metody są najpopularniejsze. Często razem z pojęciem NWD występuje NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność).


Przykładowe zadania

Znajdź największy wspólny dzielnik następujących liczb:

a) 10, 12           b) 15; 30           c) 64; 48

d) 54; 36           e) 550; 325           f) 28; 70

Zobacz rozwiązanie