Twierdzenie Cramera
Twierdzenie Cramera używamy do rozwiązywania układów równań liniowych. Jednak można je stosować tylko i wyłącznie do równań w których ilość niewiadomych jest równa ilości równań. Metodą łatwiejszą przy rozwiązywaniu dużych układów równań jest eliminacja Gaussa lub metoda Gaussa-Jordana, jeszcze innym sposobem rozwiązania układu jest zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania układów równań.
Główne zasady w twierdzeniu Cramera to:
- jeśli wyznacznik główny jest różny od zera \(W \neq 0\) to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,
- jeśli wyznacznik główny i wszystkie wyznaczniki szczególne są równe zero \( W= 0 \), \(W_x = 0\), \(W_y =0\), ..., \(W_w=0\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- jeśli wyznacznik główny jest równy zero, a któryś (przynajmniej jeden) z wyznaczników szczególnych jest różny od zera, to układ jest sprzeczny.
Mając dany układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi \(x_1, x_2, \: ..., \: x_n\):
\(\begin{cases} a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y \: \: + ... + \: \: a_{1n} \cdot w = \: b_1 \\ a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y \: \: + ... + \: \: a_{2n} \cdot w = \: b_2 \\ \: \: \: \: \: \vdots \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \vdots \: \: \: \: \: \: \ddots \: \: \: \: \: \: \: \: \vdots \: \: \: \: \: \: \: \: \: \vdots\\ a_{n1} \cdot x + a_{n2} \cdot y \: + ... + \: a_{nn} \cdot w = b_n\end{cases}\)
\(W = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \: \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}\),
wyznaczniki szczegołowe wyznaczamy w sposób:
\(W_x = \begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
b_2 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
b_3 & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_n & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)
\(W_y = \begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & b_2 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & b_3 & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & b_n & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)
\(W_z = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & b_2 & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & b_3 & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\)
\( \vdots\)
\(W_w = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & b_1\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & b_2\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & b_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & b_n
\end{vmatrix}\)
\( \left\{\begin{matrix}
x= \dfrac{W_{x}}{W}\\
\\
y= \dfrac{W_{y}}{W}\\ \\
z= \dfrac{W_{z}}{W}\\
\vdots \\
w= \dfrac{W_{w}}{W}
\end{matrix}\right.\)
Przykład:
\(\begin{cases} {\color{DarkRed}2}x {\color{DarkRed}{-1}} y {\color{DarkRed}{-1}} z = {\color{blue}4}\\ {\color{DarkRed}3}x + {\color{DarkRed}4}y {\color{DarkRed}{- 2}}z = {\color{blue}{11}}\\ {\color{DarkRed}3}x {\color{DarkRed}{- 2}}y + {\color{DarkRed}4}z = {\color{blue}{11}}\end{cases}\)
Najpierw od drugiej kolumny odjęto kolumnę trzecią, a następnie do drugiego wiersza dodano trzeci wiersz, następnie wyznacznik główny w tym przypadku obliczymy stosując rozwinięcie Laplace'a:
\(W = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{DarkRed}{-1}} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{DarkRed}3} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}{-2}} \\ {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-2}} & \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 & \: \: \: 0 & -1\\ 3 & \: \: \: 6 & -2\\ 3 & -6 & \: \: \: 4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 & \: \: \: 0 & -1\\ 6 & \: \: 0 & \: \: 2\\ 3 & -6 & \: \: \: 4\end{vmatrix}\)
\(W= (-1)^{3+2} (-6) \begin{vmatrix}2 & -1\\ 6 & \: \: \: \: 2\end{vmatrix} = 60\)
\(W_x = \begin{vmatrix}{\color{blue}4} & {\color{DarkRed}{-1}} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{blue}{11}} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{DarkRed}{-2}}\\ {\color{blue}{11}} & {\color{DarkRed}{-2}} & \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = 180\) ,\(W_y = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{blue}4} & {\color{DarkRed}{-1}}\\ {\color{DarkRed}3} & {\color{blue}{11}} & {\color{DarkRed}{-2}}\\ {\color{DarkRed}2} & {\color{blue}{11}} & \: \: \: {\color{DarkRed}4}\end{vmatrix} = 60 \)
\(W_z = \begin{vmatrix} {\color{DarkRed}2} & {\color{DarkRed}{-1}} & \: {\color{blue}4}\\ {\color{DarkRed}3} & \: \: \: {\color{DarkRed}4} & {\color{blue}{11}}\\ {\color{DarkRed}3} & {\color{DarkRed}{-2}} & {\color{blue}{11}}\end{vmatrix} = 60\)
\(x = \dfrac{W_x}{W} = 3, \: \: y=\dfrac{W_y}{W} = 1, \: \: z =\dfrac{W_z}{W} =1\)
Twierdzenie Cramera Wasze opinie
Ogólnie to w przypadku gdy układ nie jest oznaczony, to te dwa pozostałe podpunkty w Twierdzeniu Cramera są błędne. Wystarczy wziąć n-wymiarowy układ AX = B taki że macierz A jest rzędu co najwyżej n-2 ale A rozszerzony o B jest rzędu o jeden więcej. Wtedy niby z Tw Cramera układ jest nieoznaczony, ale tak naprawdę jest sprzeczny.
W przykładzie jest błąd." Wy" w macierzy w pierwszej kolumnie jest 2 a powinno być 3
Fajnie