Zmienne losowe - opis

Zmienna losowa jest to funkcja X, która przyporządkowuje pewną liczbę rzeczywistą x wynikowi eksperymentu losowego np:

• w rzucie kostką wyrzucenie "1 oczka" odpowiada liczba 1,  "2 oczka" odpowiada liczba 2,  "3 oczka" odpowiada liczba 3 itd
• w rzucie monetą "wyrzucenie reszki" przypisujemy liczbę 1, "wyrzucenie orzełka" przypisujemy liczbę 0
• przy obserwacji samochodów przejeżdżających przez skrzyżowanie: samochodom czerwonym przypisujemy liczbę 1, samochodom zielonym liczbę 2 itd

Zmienna losowa może być:

• dyskretna, kiedy wartości zmiennej losowej X są punktami na osi liczbowej (obejmują pewne skończone przedziały wartości) np rzut monetą czy kostką. Dla zmiennych dyskretnych ilościowy opis zmiennych losowych to rozkład prawdopodobieństwa lub rozkład zmiennej losowej.
• ciągła, kiedy wartość zmiennej losowej X stanowią wszystkie punkty odcinka (obejmują pewny przedział liczb rzeczywistych) np rozkład temperatury czy ciśnienia. Dla zmiennych ciągłych ilościowy opis zmiennych losowych to funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

Rozkład zmiennej losowej jest to zbiór par (x_i, p_i) gdzie x_i  jest to wartość zmiennej losowej X, zaś p_i jest wartością prawdopodobieństwa, że dana zmienna losowa X osiąga wartość x_i.. 

Przykład 1. Oblicz rozkład prawdopodobieństwa dla jednokrotnego rzutu monetą?

Zgodnie z powyższym w rzucie monetą "wyrzucenie reszki" przypisujemy liczbę 1, "wyrzucenie orzełka" przypisujemy liczbę 0

x₁ = 0  p (X=0) = p (x₁) = \(\frac{1}{2}\)

 x₂ = 1  p (X=1) = p (x₂) = \(\frac{1}{2}\)

Otrzymujemy rozkład prawdopodobieństwa: {(1, \(\frac{1}{2}\)), (0, \(\frac{1}{2}\))

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa - ma swoje odzwierciedlenie w prawdopodobieństwie i zapisujemy wzorem:

f (x) dx = P (x \(\leq\)  X < x + dx)