Całki oznaczone i nieoznaczone to pojęcia z zakresu analizy matematycznej, wykorzystywane też w naukach przyrodniczych czy ekonomii.
Tabela z wzorami całek nieoznaczonych
W tabeli poniżej przedstawiamy wzory całek nieoznaczonych wybranych ważniejszych funkcji elementarnych. Całkowanie bardzo często dostarcza wielu problemów, dlatego wychodząc Państwu naprzeciw prezentujemy bazę przykładowych całek, którą będziemy nieustannie rozwijać. Proszę pamiętać jednak, że istnieją całki, których nie da się rozwiązać (jedynie udowodnić jej nierozwiązywalność). Można wtedy próbować przybliżać daną funkcję.
| Wzór funkcji | Całka funkcji |
| \(f(x) = a\) | \( \int a \: dx = ax + C\) |
| \(f(x) = x\) | \(\int x dx = \dfrac{1}{2} x^2 + C\) |
| \(f(x) = x^n\) | \(\int x^n dx = \dfrac{1}{n + 1} x^{n+1} + C\), dla \(n \neq -1\) |
| \(f(x) =\dfrac{1}{x}\) | \(\int \dfrac{1}{x} dx =ln\left | x \right | + C\) |
| \(f(x) =a^x\) | \(\int a^x \: dx = \dfrac{1}{ln \: a}a^x + C\) |
| \(f(x) =ln \: x\) | \(\int ln \: x \: dx = (x-1) \: ln \: x + C\) |
| \(f(x) =log_a x\) | \(\int \: log_a x\ dx = \dfrac{x}{ln \: a}(ln \: x - 1) + C\) |
| \(f(x) =e^x\) | \(\int e^x \: dx = e^x + C\) |
| \(f(x) =\sqrt{x}\) | \(\int \sqrt{x} \: dx = \dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} + C\) |
| \(f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \: dx =2 \sqrt{x} + C\) |
| \(f(x) =\dfrac{1}{ax +b}\) | \(\int \dfrac{1}{ax +b} dx = \dfrac{1}{a} ln \left |ax +b \right |+ C\), dla \(a \neq 0\) |
| \(f(x) = sin \: x\) | \(\int sin \: x \: dx = - cos \: x + C\) |
| \(f(x) = cos \: x\) | \(\int cos \: x \: dx = sin \: x + C\) |
| \(f(x) = tg \: x\) | \(\int \: tg \: x \: dx = -ln \left| cos \: x \right|+ C\) |
| \(f(x) = ctg \: x\) | \(\int \: ctg \: x \: dx = ln \left| sin \: x \right|+ C\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{cos^2 x}\) | \(\int \: \dfrac{1}{cos^2 x} \: x \: dx = tg \: x + C\), gdy \(cos \: x \neq 0\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{sin^2 x}\) | \(\int \: \dfrac{1}{sin^2 x} \: x \: dx =-ctg \: x + C\), gdy \(sin \: x \neq 0\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 +a^2}\) | \(\int \: \dfrac{1}{x^2 + a^2} dx =\dfrac{1}{a} arc \: tg \dfrac{x}{a} + C\), dla \(a \neq 0\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\int \: \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = arc \: sin \dfrac{x}{a} + C\), dla \(a \neq 0\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\int \:\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = ln \left| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C\) |
| \(f(x) = (ax + b)^n\) | \(\int \: (ax + b)^n dx = \dfrac{1}{a(n+1)} (ax + b)^{n+1} + C\) dla \(n \neq -1\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\int \dfrac{1}{a^2 - x^2} dx = \dfrac{1}{2a}ln \left|\dfrac{a+x}{a-x} \right| +C\), dla \(a>0 \: i \: \left|x \right| \neq a\) |
Całki oznaczone i nieoznaczone
Pojęcie całki dotyczy różnych powiązanych z sobą określeń pojęć analizy matematycznej. Najczęściej mówi się o całkach oznaczonych i nieoznaczonych, aczkolwiek nie są to jedyne ich rodzaje. Kiedyś istniała jedna definicja całki, obecnie każdy jej rodzaj jest już dokładnie definiowany (wcześniej o całce mówiono, że to „suma nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości, na przykład wartości funkcji pomnożonej przez nieskończenie małą różniczkę jej zmiennej f(x) dx”). Całkowanie uważa się w pewnym sensie za odwrotność różniczkowania (choć trudniejsze do wyliczenia), co zresztą widać w polskich nazwach, które wprowadził Jan Śniadecki tłumacząc słowa niemieckie: w tym przypadku ze słowo „integral” (różniczka zaś to „differential”).
W obrębie swoich rodzajów całki oznaczone dzielą się na różne typy, przykładem całka Riemanna, niewłaściwa Riemanna, Riemanna-Stieltjesa, Daniella-Stone'a i wiele innych, w tym kilka odmian całek w przestrzeniach funkcyjnych. Ogólnie całką oznaczoną nazywa się pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) w pewnym przedziale (a, b), a osią odciętych (ze znakami plus lub minus, w zależności od wartości funkcji).
Całka nieoznaczona bywa też nazywana funkcją pierwotną. To pojęcie uważane za odwrotne do pochodnej funkcji. Obliczanie całek nieoznaczonych jest często wstępem do obliczania całek oznaczonych. Przed kilkudziesięciu laty wprowadzono kilka nowych rodzajów całek nieoznaczonych, związanych z analizą niearchimedesową, przykładem całka Volkenborna.
Oprócz całek oznaczonych i nieoznaczonych znajdziemy też wiele innych, mniej powszechnych. Za takie można uznać całki krzywoliniowe, powierzchniowe, podwójne, różne całki stochastyczne.
Całki niektórych funkcji nie istnieją, innych zaś nie da się zapisać w żadnej formie jako standardowe funkcje matematyczne.
Pierwsza definicja całki
Za twórcę definicji ogólnej całki uważa się Georga Friedricha Bernharda Riemanna, niemieckiego matematyka, ale i filozofa, fizyka i przyrodnika, żyjącego w XIX wieku (krótko zresztą, zmarł w wieku zaledwie 40 lat). Był synem ubogiego pastora, od dziecka zdradzającym zdolności matematyczne – w szkole błyskawicznie przerósł program, dojeżdżał do niego specjalny nauczyciel. Naukę utrudniał mu jego introwertyzm, ocierający się o paranoiczny strach przed publicznymi przemowami; sam nie potrafił przemawiać, a także pisać poprawnie językiem potocznym – prawidłowo zapisywał tylko traktaty naukowe, w których były suche fakty i liczby. Mimo tego potrafił w 6 dni przyswoić sobie treść jednego z najtrudniejszych znanych dzieł o teorii liczb... Studiował, brał udział w Wiośnie Ludów (był przez pewien czas więziony), obronił doktorat, a jego praca (klasyfikacja geometrii i rozszerzenie teorii Gaussa) została uznana za jedną z najważniejszych w historii matematyki. Często podupadał na zdrowiu – prawdopodobnie miał gruźlicę, której jeszcze nie diagnozowano – zmarł we Włoszech.
Opinie - Wzory całek wybranych funkcji