Wzory całek wybranych funkcji

W tabeli poniżej przedstawiamy wzory całek nieoznaczonych wybranych ważniejszych funkcji elementarnych. Całkowanie bardzo często dostarcza wielu problemów dlatego wychodząc Państwu naprzeciw prezentujemy bazę przykładowych całek, którą będziemy nieustannie rozwijać. Proszę pamiętać jednak, że istnieją całki, których nie da się rozwiązać (jedynie udowodnić jej nierozwiązywalność). Można wtedy próbować przybliżać daną funkcję.

Wzór funkcji	Całka funkcji
\(f(x) = a\)	\( \int a \: dx = ax + C\)
\(f(x) = x\)	\(\int x dx = \dfrac{1}{2} x^2 + C\)
\(f(x) = x^n\)	\(\int x^n dx = \dfrac{1}{n + 1} x^{n+1} + C\), dla \(n \neq -1\)
\(f(x) =\dfrac{1}{x}\)	\(\int \dfrac{1}{x} dx =ln\left | x \right | + C\)
\(f(x) =a^x\)	\(\int a^x \: dx = \dfrac{1}{ln \: a}a^x + C\)
\(f(x) =ln \: x\)	\(\int ln \: x \: dx = (x-1) \: ln \: x + C\)
\(f(x) =log_a x\)	\(\int \: log_a x\ dx = \dfrac{x}{ln \: a}(ln \: x - 1) + C\)
\(f(x) =e^x\)	\(\int e^x \: dx = e^x + C\)
\(f(x) =\sqrt{x}\)	\(\int \sqrt{x} \: dx = \dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} + C\)
\(f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)	\(\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \: dx =2 \sqrt{x} + C\)
\(f(x) =\dfrac{1}{ax +b}\)	\(\int \dfrac{1}{ax +b} dx = \dfrac{1}{a} ln \left |ax +b  \right |+ C\), dla \(a \neq 0\)
\(f(x) = sin \: x\)	\(\int sin \: x \: dx = - cos \: x + C\)
\(f(x) = cos \: x\)	\(\int cos \: x \: dx =  sin \: x + C\)
\(f(x) = tg \: x\)	\(\int \: tg \: x \: dx =  -ln \left| cos \: x \right|+ C\)
\(f(x) = ctg \: x\)	\(\int \: ctg \: x \: dx =  ln \left| sin \: x \right|+ C\)
\(f(x) = \dfrac{1}{cos^2 x}\)	\(\int \: \dfrac{1}{cos^2 x} \: x \: dx = tg \: x + C\), gdy \(cos \: x \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{sin^2 x}\)	\(\int \: \dfrac{1}{sin^2 x} \: x \: dx =-ctg \: x + C\), gdy \(sin \: x \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2 +a^2}\)	\(\int \: \dfrac{1}{x^2 + a^2} dx =\dfrac{1}{a} arc \: tg \dfrac{x}{a} + C\), dla \(a \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)	\(\int \:  \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = arc \: sin \dfrac{x}{a} + C\), dla \(a \neq 0\)
\(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)	\(\int \:\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = ln \left| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C\)
\(f(x) = (ax + b)^n\)	\(\int \: (ax + b)^n dx = \dfrac{1}{a(n+1)} (ax + b)^{n+1} + C\) dla \(n \neq -1\)
\(f(x) = \dfrac{1}{a^2 - x^2}\)	\(\int \dfrac{1}{a^2 - x^2} dx = \dfrac{1}{2a}ln \left|\dfrac{a+x}{a-x} \right| +C\), dla \(a>0 \: i \: \left|x \right| \neq a\)