Wzór na całkowanie przez podstawienie

Wzór na całkowanie przez podstawienie ma postać:

\(\int f [g(x)] \cdot g^{'}(x)dx = \int f(t) dt\), gdzie \(t=g(x)\)   i  \(dt= g^{'}(x)dx\)

Wyjaśnienie symboli:

\(f\) - funkcja podcałkowa

\(x\) - zmienna całkowania

\(f(x)dx\) - wyrażenie podcałkowe

\(\int\) - symbol całkowania

Przykłady 1:

\(\int x \cdot e^{x^2}dx =\begin{vmatrix}x^2 = t & \\  2xdx = dt /:2& \\  x dx = \dfrac{1}{2}dt& \end{vmatrix}=\int e^t \cdot \dfrac{1}{2} dt= \dfrac{1}{2} \int e^t dt = \dfrac{1}{2} e^t + C=\)

\(= \dfrac{1}{2} e^{x^2} + C\)

Przykład 2:

\(\int x^2 sin(4x^3 + 15) dx = \begin{vmatrix}4x^3 +15 = t & \\  12x^2dx = dt /:12& \\  x^2 dx = \dfrac{1}{12}dt& \end{vmatrix} =\)

\(=\int sin t \cdot \dfrac{1}{12} dt = \dfrac{1}{12} \int sin t dt = \dfrac{1}{12} \cdot (-cos t ) + C = - \dfrac{1}{12} cos t + C =\)

\(= -\dfrac{1}{12} cos (4x^3 +15) + C\)