Przekształć podaną funkcje na postać ogólną i iloczynową.
a) \(f(x)=(x+2)^2-7\)
b) \(f(x)=2(x-1)^2+1\)
c) \(f(x)=-4(x+5)^2-3\)
d) \(f(x)=(x+1)^2\)
e) \(f(x)=-(x-0)^2\)
Aby z postaci iloczynowej otrzymać postać ogólną należy wymnożyć nawias i dodać do siebie wyrażenia.
Zapamiętaj
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Rozwiązanie
a)
\(f(x)=(x+2)^2-7\)
\(f(x)=x^2+4x+4-7\)
Postać ogólna funkcji kwadratowej to:
\(f(x)=x^2+4x-3\)
Odczytujemy \(a=1;b=4;c=-3\)
\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16-12=4\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)
\(x_1=\frac{-4-2}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-4+2}{2\cdot 1}\)
\(x_1=\frac{-6}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-2}{2}\)
\(x_1=-3 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-1\)
Postać iloczynowa ma postać:
\(f(x)=1\cdot (x-(-3))(x-(-1))\)
Po uproszczeniu
\(f(x)=(x+3)(x+1)\)
Odpowiedź: Szukana postać ogólna to: \(f(x)=x^2+4x-3\); Szukana postać iloczynowa to: \(f(x)=(x+3)(x+1)\).
b)
\(f(x)=2(x-1)^2+1\)
\(f(x)=2(x^2-2x+1)+1 \)
Postać ogólna funkcji kwadratowej to:
\(f(x)=2x^2-4x+3\)
Odczytujemy \(a=2;b=-4;c=3\)
\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8\)
Odpowiedź: Szukana postać ogólna to: \(f(x)=2x^2-4x+3\); Szukana postać iloczynowa nie istnieje, ponieważ delta jest mniejsza od zera.
c)
\(f(x)=-4(x+5)^2-3\)
\(f(x)=-4(x^2+10x+25)-3\)
\(f(x)=-4x^2-40x-100-3\)
Po uproszczeniu otrzymujemy postać ogólną funkcji kwadratowej:
\(f(x)=-4x^2-40x-103\)
Mając postać ogólna łatwo odczytać współczynniki \(a=-4;b=-40;c=-103\)
\(\Delta=(-40)^2-4\cdot (-4)\cdot (-103)=1600-1648=-48\)
Ponieważ \(\Delta\) jest mniejsza od zera, postać iloczynowa nie istnieje.
Odpowiedź: postać ogólna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=-4x^2-40x-103\); postać iloczynowa nie istnieje ponieważ \(\Delta \) jest mniejsza od zera.
d)
\(f(x)=(x+1)^2\)
\(f(x)=x^2+2x+1\)
To jest postać ogólna.
Postać iloczynową obliczymy krok po kroku, jednak forma pierwotna funkcji jest tą postacią.
\(a=1;b=2;c=1\)
\(\Delta= 2^2-4\cdot 1 \cdot 1=4-4=0\)
\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
\(x_1=x_2=-\frac{2}{2\cdot 1}=-\frac{2}{2}=-1\)
\(f(x)=1\cdot (x-(-1))(x-(-1))\)
Po uproszczeniu
\(f(x)=(x+1)(x+1)\)
Odpowiedź: Szukana postać ogólna to : \(f(x)=x^2+2x+1\); szukana postać iloczynowa to \(f(x)=(x+1)(x+1)\).
e)
\(f(x)=-(x-0)^2\)
\(f(x)=-(x)^2\)
\(f(x)=-x^2\)
Odpowiedź: Postać ogólna to \(f(x)=-x^2\); postać iloczynowa to \(f(x)=-x\cdot x\).
a) \(f(x)=(x+2)^2-7\)
b) \(f(x)=2(x-1)^2+1\)
c) \(f(x)=-4(x+5)^2-3\)
d) \(f(x)=(x+1)^2\)
e) \(f(x)=-(x-0)^2\)
Aby z postaci iloczynowej otrzymać postać ogólną należy wymnożyć nawias i dodać do siebie wyrażenia.
Aby z postaci ogólnej otrzymać postać iloczynową należy obliczyć deltę \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli delta jest większa lub równa zero obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).
Zapamiętaj
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Rozwiązanie
a)
\(f(x)=(x+2)^2-7\)
\(f(x)=x^2+4x+4-7\)
Postać ogólna funkcji kwadratowej to:
\(f(x)=x^2+4x-3\)
Odczytujemy \(a=1;b=4;c=-3\)
\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16-12=4\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)
\(x_1=\frac{-4-2}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-4+2}{2\cdot 1}\)
\(x_1=\frac{-6}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-2}{2}\)
\(x_1=-3 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-1\)
Postać iloczynowa ma postać:
\(f(x)=1\cdot (x-(-3))(x-(-1))\)
Po uproszczeniu
\(f(x)=(x+3)(x+1)\)
Odpowiedź: Szukana postać ogólna to: \(f(x)=x^2+4x-3\); Szukana postać iloczynowa to: \(f(x)=(x+3)(x+1)\).
b)
\(f(x)=2(x-1)^2+1\)
\(f(x)=2(x^2-2x+1)+1 \)
Postać ogólna funkcji kwadratowej to:
\(f(x)=2x^2-4x+3\)
Odczytujemy \(a=2;b=-4;c=3\)
\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8\)
Odpowiedź: Szukana postać ogólna to: \(f(x)=2x^2-4x+3\); Szukana postać iloczynowa nie istnieje, ponieważ delta jest mniejsza od zera.
c)
\(f(x)=-4(x+5)^2-3\)
\(f(x)=-4(x^2+10x+25)-3\)
\(f(x)=-4x^2-40x-100-3\)
Po uproszczeniu otrzymujemy postać ogólną funkcji kwadratowej:
\(f(x)=-4x^2-40x-103\)
Mając postać ogólna łatwo odczytać współczynniki \(a=-4;b=-40;c=-103\)
\(\Delta=(-40)^2-4\cdot (-4)\cdot (-103)=1600-1648=-48\)
Ponieważ \(\Delta\) jest mniejsza od zera, postać iloczynowa nie istnieje.
Odpowiedź: postać ogólna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=-4x^2-40x-103\); postać iloczynowa nie istnieje ponieważ \(\Delta \) jest mniejsza od zera.
d)
\(f(x)=(x+1)^2\)
\(f(x)=x^2+2x+1\)
To jest postać ogólna.
Postać iloczynową obliczymy krok po kroku, jednak forma pierwotna funkcji jest tą postacią.
\(a=1;b=2;c=1\)
\(\Delta= 2^2-4\cdot 1 \cdot 1=4-4=0\)
\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
\(x_1=x_2=-\frac{2}{2\cdot 1}=-\frac{2}{2}=-1\)
\(f(x)=1\cdot (x-(-1))(x-(-1))\)
Po uproszczeniu
\(f(x)=(x+1)(x+1)\)
Odpowiedź: Szukana postać ogólna to : \(f(x)=x^2+2x+1\); szukana postać iloczynowa to \(f(x)=(x+1)(x+1)\).
e)
\(f(x)=-(x-0)^2\)
\(f(x)=-(x)^2\)
\(f(x)=-x^2\)
Odpowiedź: Postać ogólna to \(f(x)=-x^2\); postać iloczynowa to \(f(x)=-x\cdot x\).
Jak obliczyć postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej – zadanie 4 - wyniki