Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej – Zadanie 5 obliczenia

Przekształć podaną funkcje na postać ogólną i kanoniczną.
a) \(f(x)=(x-2)(x+1)\)

b) \(f(x)=2(x+4)(x+2)\)

c) \(f(x)=(x-3)(x-1)\)

d) \(f(x)=-3(x-6)(x+0)\)

e) \(f(x)=-(x+1)(x+5)\)

Zapamiętaj
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)

Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)

Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Aby z postaci iloczynowej otrzymać postać ogólną, należy wymnożyć wszystkie wyrazy oraz dodać lub odjąć je od siebie, aż do postaci funkcji ogólnej. Aby otrzymać postać kanoniczną trzeba obliczyć \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\).

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=(x-2)(x+1)\)

\(f(x)=x^2-2x+x-2\)

Po uproszczeniu postać ogólna funkcji kwadratowej ma postać:

\(f(x)=x^2-x-2\)

Z postaci ogólnej odczytujemy \(a=1;b=-1;c=-2\). Przystępujemy do obliczania postaci kanonicznej.

\(\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9\)

\(p=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}\)

\(q=-\frac{9}{4\cdot 1}=-2\frac{1}{4}\)

\(f(x)=1\cdot \left ( x-\frac{1}{2} \right )^2-2\frac{1}{4}\)

\( f(x)= \left ( x-\frac{1}{2} \right )^2-2\frac{1}{4}\)

Odpowiedź: Szukana postać ogolna to \(f(x)=x^2-x-2\); postać kanoniczna to \( f(x)= \left ( x-\frac{1}{2} \right )^2-2\frac{1}{4}\).

b)
\(f(x)=2(x+4)(x+2)\)

\(f(x)=2(x^2+4x+2x+8)\)

\(f(x)=2(x^2+6x+8)\)

Postać ogólna to

\(f(x) = 2x^2+12x+16\)

Łatwo odczytujemy \(a=2;b=12;c=16\)

\(\Delta=12^2-4\cdot 2\cdot 16=144-128=16\)

\(p=-\frac{12}{2\cdot 2}=-\frac{12}{4}=-3\)

\(q=-\frac{16}{4\cdot 2}=-\frac{16}{8}=-8\)

Postać kanoniczna to:

\(f(x)=2\cdot(x-(-3))^2-8\)

Po uproszczeniu

\(f(x)=2((x+3)^2-8\)

Odpowiedź: Szukana postać ogólna funkcji kwadratowej to \(f(x) = 2x^2+12x+16\); szukana postać kanoniczna to \(f(x)=2((x+3)^2-8\).

c)
\(f(x)=(x-3)(x-1)\)

\(f(x)=x^2-3x-x+3\)

Postać ogólna funkcji kwadratowej to:

\(f(x)=x^2-4x+3\)

Łatwo zauważyć, że \(a=1;b=-4;c=3\).

\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4\)

\(p=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\)

\(q=-\frac{4}{4\cdot 1}=-\frac{4}{4}=-1\)

Postać kanoniczną możemy więc zapisać:

\(f(x)=1\cdot (x-2)^2-1\)

Lub prościej:

\(f(x)= (x-2)^2-1\)

Odpowiedź: Szukana postać ogólna to \(f(x)=x^2-4x+3\); natomiast postać kanoniczna to \(f(x)= (x-2)^2-1\).

d)
\(f(x)=-3(x-6)(x+0)\)

\(f(x)=-3(x^2-6x)\)

Postać ogólna to:

\(f(x)=-3x^2+18x\)

Z postaci ogólnej funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=-3;b=18;c=0\).

\(\Delta=18^2-4\cdot (-3)\cdot 0=324\)

\(p=-\frac{18}{2\cdot (-3)}=\frac{18}{6}=3\)

\(q=-\frac{324}{4\cdot (-3)}=\frac{324}{12}=27\)

Postać kanoniczną możemy przedstawić następująco:

\(f(x)=-3\cdot (x-3)^2+27\)

Odpowiedź: Szukana postać ogólna funkcji kwadratowej to \(f(x)=-3x^2+18x\), postać ogólna to \(f(x)=-3\cdot (x-3)^2+27\).

e)
\(f(x)=-(x+1)(x+5)\)

\(f(x)=-(x^2+5x+x+5)\)

Postać ogólna to:

\(f(x)=-x^2-6x-5\)

z tej postaci odczytujemy \(a=-1;b=-6;c=-5\), następnie obliczamy deltę oraz \(p\) i \(q\) potrzebne do otrzymania postaci kanonicznej.

\(\Delta=(-6)^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)=36-20=16\)

\(p=-\frac{-6}{2\cdot (-1)}=-\frac{6}{2}=-3\)

\(q=-\frac{16}{4\cdot (-1)}=\frac{16}{4}=4\)

Postać kanoniczna to

\(f(x)=-1\cdot (x-(-3))^2+4\)

Po uproszczeniu

\(f(x)=-(x+3)^2+4\)

Odpowiedź: Szukana postać ogólna funkcji kwadratowej to \(f(x)=-x^2-6x-5\), natomiast postać kanoniczna to \(f(x)=-(x+3)^2+4\).