Podaj wartość wyróżnika i miejsca zerowe funkcji:
a) \(f(x)=x^2-8x+12\)
b) \(f(x)=-x^2+5x-4\)
c) \(f(x)=x^2-2x\)
d) \(f(x)=x^2\)
e) \(f(x)=x^2+6x+10\)
Pamiętaj
Wyróżnik równania kwadratowego oblicza się ze wzoru:
\(\Delta=b^2-4ac\)
Miejsca zerowe jeśli istnieją obliczamy z wzoru:
Rozwiązanie
a)
\(f(x)=x^2-8x+12\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-8;c=12\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)
\(x_1=\frac{-(-8) + 4 }{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-8) - 4 }{ 2\cdot 1}\)
\(x_1=\frac{8 + 4 }{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{8 - 4 }{ 2}\)
\(x_1=\frac{12 }{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{4 }{ 2}\)
\(x_1=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 2\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej to \(\Delta=16\), miejsca zerowa to \(x=6\) oraz \(x=2\).
b)
\(f(x)=-x^2+5x-4\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=-1;b=5;c=-4\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=5^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)=25-16=9\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3\)
\(x_1=\frac{-5+3}{ 2\cdot (-1)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-5-3}{ 2\cdot (-1)}\)
\(x_1=\frac{-2}{-2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-8}{ -2}\)
\(x_1=1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 4\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej to \(\Delta=9\), miejsca zerowa to \(x=1\) oraz \(x=4\).
c)
\(f(x)=x^2-2x\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-2;c=0\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 0=4-0=4\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)
\(x_1=\frac{-(-2)+2}{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-2)-2}{ 2\cdot 1}\)
\(x_1=\frac{2+2}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{2-2}{ 2}\)
\(x_1=\frac{4}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{0}{ 2}\)
\(x_1= 2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 0\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=9\), miejsca zerowa to \(x=2\) oraz \(x=0\).
d)
\(f(x)=x^2\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=0;c=0\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot 0=0-0=0\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe.
\(x_1=x_2=\frac{-(-2)}{ 2\cdot 1}\)
\(x_1=x_2=\frac{2}{ 2}\)
\(x_1=x_2=1\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=0\), miejsce zerowe to \(x=1\).
e)
\(f(x)=x^2+6x+10\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=6;c=10\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4\)
Delta jest ujemna, oznacza to, że funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych.
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=0\), funkcja nie posiada miejsc zerowych.
a) \(f(x)=x^2-8x+12\)
b) \(f(x)=-x^2+5x-4\)
c) \(f(x)=x^2-2x\)
d) \(f(x)=x^2\)
e) \(f(x)=x^2+6x+10\)
Pamiętaj
Wyróżnik równania kwadratowego oblicza się ze wzoru:
\(\Delta=b^2-4ac\)
Miejsca zerowe jeśli istnieją obliczamy z wzoru:
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)
Rozwiązanie
a)
\(f(x)=x^2-8x+12\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-8;c=12\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)
\(x_1=\frac{-(-8) + 4 }{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-8) - 4 }{ 2\cdot 1}\)
\(x_1=\frac{8 + 4 }{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{8 - 4 }{ 2}\)
\(x_1=\frac{12 }{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{4 }{ 2}\)
\(x_1=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 2\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej to \(\Delta=16\), miejsca zerowa to \(x=6\) oraz \(x=2\).
b)
\(f(x)=-x^2+5x-4\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=-1;b=5;c=-4\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=5^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)=25-16=9\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3\)
\(x_1=\frac{-5+3}{ 2\cdot (-1)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-5-3}{ 2\cdot (-1)}\)
\(x_1=\frac{-2}{-2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-8}{ -2}\)
\(x_1=1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 4\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej to \(\Delta=9\), miejsca zerowa to \(x=1\) oraz \(x=4\).
c)
\(f(x)=x^2-2x\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-2;c=0\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 0=4-0=4\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)
\(x_1=\frac{-(-2)+2}{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-2)-2}{ 2\cdot 1}\)
\(x_1=\frac{2+2}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{2-2}{ 2}\)
\(x_1=\frac{4}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{0}{ 2}\)
\(x_1= 2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 0\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=9\), miejsca zerowa to \(x=2\) oraz \(x=0\).
d)
\(f(x)=x^2\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=0;c=0\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot 0=0-0=0\)
Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe.
\(x_1=x_2=\frac{-(-2)}{ 2\cdot 1}\)
\(x_1=x_2=\frac{2}{ 2}\)
\(x_1=x_2=1\)
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=0\), miejsce zerowe to \(x=1\).
e)
\(f(x)=x^2+6x+10\)
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=6;c=10\), następnie obliczmy deltę.
\(\Delta=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4\)
Delta jest ujemna, oznacza to, że funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych.
Odpowiedź: Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=0\), funkcja nie posiada miejsc zerowych.
Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej – zadanie 1 - wyniki