Rozwiąż nierówność:
a) \(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)
b) \(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
c) \( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
d) \(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\)
Rozwiązanie
a)
\(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)
Rozwiązywanie nierówności z logarytmem zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(-3-7x>0\)
\(-7x>3\)
\(x<-\frac{3}{7}\)
Dziedziną nierówności jest \(x\: \epsilon \:\left ( -\infty;-\frac{3}{7}\right )\).
Przystępujemy do rozwiązywania:
\(\log_{5} (-3-7x)\leqslant \log_{5} 5^2\)
Po obu stronach nierówności mamy logarytmy, więc możemy je opuścić. Podstawa logarytmu jest większa niż 1, więc nie zmieniamy znaku w nierówności.
\(-3-7x\leqslant 5^2\)
\(-7x\leqslant 25+3\)
\(-7x\leqslant 28\: / \: : \:(-7)\)
\(x\geqslant -4\)
Sprawdzamy czy otrzymane rozwiązanie zawiera się w dziedzinie. Otrzymujemy więc:
\(x\: \epsilon \: \left \langle -4;-\frac{3}{7} \right )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\: \epsilon \: \left \langle -4;-\frac{3}{7} \right )\) .
b)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(2x+5>0\)
\(2x>-5\)
\(x>-2\frac{1}{2}\)
Dziedziną nierówności jest: \(x\: \epsilon \: (-2\frac{1}{2};+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązywania:
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant \log_{\frac{1}{3}}\left ( \frac{1}{3} \right )^{-2}\)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant \log_{\frac{1}{3}} 9\)
Po obu stronach nierówności mamy logarytm, możemy więc go opuścić. Podstawa logarytmu jest mniejsza niż 1, więc przy opuszczaniu logarytmów zmieniamy znak nierówności.
\(2x+5\leqslant 9\)
\(2x\leqslant 9-5\)
\(2x\leqslant 4\)
\(x\leqslant 2\)
Otrzymany wynik sprawdzamy z dziedzina i otrzymujemy:
\(x\: \epsilon \: \left ( -2\frac{1}{2};2 \right )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest \(x\: \epsilon \: \left ( -2\frac{1}{2};2 \right )\) .
c)
\( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
Najpierw sprawdzamy dziedzinę funkcji:
\(x+7>0\) i \(3-x>0\)
\(x>-7\) i \(x<3\)
Dziedziną funkcji jest: \(x\: \epsilon \: (-7;3)\) .
Przystępujemy do rozwiązywania nierówności:
\(\log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
\(\log_{4} (x+7)+\log_{4} (3-x)\geqslant 2\)
\(\log_{4} \left ( (x+7)\cdot (3-x) \right )\geqslant \log_{4} 4^2\)
\(\log_{4} ( x^2-4x+21 )\geqslant \log_{4} 16\)
Po obu stronach nierówności jest logarytm o tej samej podstawie, możemy więc go opuścić. Podstawą logarytmów jest liczba większa od 1, więc przy opuszczaniu logarytmów nie zmieniamy znaku nierówności.
\(-x^2-4x+21 \geqslant 16\)
\(-x^2-4x+21 -16\geqslant 0\)
\(-x^2-4x+5\geqslant 0\)
Jest to postać nierówności kwadratowej.
\(\Delta =(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot 5=16+20=36\)
\(\sqrt{\Delta}=6\)
\(x_1=\dfrac{4-6}{-2}\) i \(x_2=\dfrac{4+6}{-2}\)
\(x_1=\dfrac{-2}{-2}\) i \(x_2=\dfrac{10}{-2}\)
\(x_1=1\) i \(x_2=-5\)
Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi, więc parabola będąca poniżej osi OX znajduje się w przedziałach:
\(x \: \epsilon \: (-\infty;-5) \cup (1;+\infty)\)
Trzeba uwzględnić jeszcze dziedzinę nierówności \(x\: \epsilon \: (-7;3)\).
Więc wynikiem nierówności będzie:
\(x\: \epsilon \: (-7;-5) \cup (1;3)\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest: \(x\: \epsilon \: (-7;-5) \cup (1;3)\)
d)
\(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\)
Zadanie zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(x+2>0\) i \(2x-5>0\)
\(x>-2\) i \(x>2\frac{1}{2}\)
Więc dziedziną nierówności jest \(x\: \epsilon \: \left ( 2\frac{1}{2};+\infty \right )\)
Rozwiązujemy nierówność z logarytmem:
\(\log_{\frac{1}{5}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{5}} (2x-5)\)
\(\log_{\frac{1}{5}} (x+2)+\log_{\frac{1}{5}} (2x-5)<-1\)
\(\log_{\frac{1}{5}} ((x+2)\cdot (2x-5))< \log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}\)
\(\log_{\frac{1}{5}} (2x^2-x-10)< \log_{\frac{1}{5}} 5\)
Po obu stronach nierówności mamy logarytm z tą samą podstawą. Oznacza to, że możemy opuścić logarytm. Podstawą logarytmu jest liczba mniejsza niż jeden, oznacza to, że przy opuszczaniu logarytmu zmieniamy, znak nierówności.
\(2x^2-x-10> 5\)
\(2x^2-x-10-5> 0\)
\(2x^2-x-15> 0\)
Doprowadziliśmy do postaci nierówności kwadratowej, więc obliczamy deltę:
\(\Delta= (-1)^2-4\cdot 2\cdot (-15)=1+120=121\)
\(\sqrt{\Delta}=11\)
\(x_1=\dfrac{1+11}{2\cdot2}\) i \(x_2=\dfrac{1-11}{2\cdot2}\)
\(x_1=\dfrac{12}{4}\) i \(x_2=\dfrac{-10}{4}\)
\(x_1=3\) i \(x_2=-2\dfrac{1}{2}\)
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, więc obszar w których znajduje się nad osią OX to:
\(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; -2\dfrac{1}{2} \right ) \cup \left (3;+\infty \right )\)
Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:
\(x\: \epsilon \: (3;+\infty )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest \(x\: \epsilon \: (3;+\infty )\) .
a) \(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)
b) \(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
c) \( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
d) \(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\)
Rozwiązanie
a)
\(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)
Rozwiązywanie nierówności z logarytmem zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(-3-7x>0\)
\(-7x>3\)
\(x<-\frac{3}{7}\)
Dziedziną nierówności jest \(x\: \epsilon \:\left ( -\infty;-\frac{3}{7}\right )\).
Przystępujemy do rozwiązywania:
\(\log_{5} (-3-7x)\leqslant \log_{5} 5^2\)
Po obu stronach nierówności mamy logarytmy, więc możemy je opuścić. Podstawa logarytmu jest większa niż 1, więc nie zmieniamy znaku w nierówności.
\(-3-7x\leqslant 5^2\)
\(-7x\leqslant 25+3\)
\(-7x\leqslant 28\: / \: : \:(-7)\)
\(x\geqslant -4\)
Sprawdzamy czy otrzymane rozwiązanie zawiera się w dziedzinie. Otrzymujemy więc:
\(x\: \epsilon \: \left \langle -4;-\frac{3}{7} \right )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\: \epsilon \: \left \langle -4;-\frac{3}{7} \right )\) .
b)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(2x+5>0\)
\(2x>-5\)
\(x>-2\frac{1}{2}\)
Dziedziną nierówności jest: \(x\: \epsilon \: (-2\frac{1}{2};+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązywania:
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant \log_{\frac{1}{3}}\left ( \frac{1}{3} \right )^{-2}\)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant \log_{\frac{1}{3}} 9\)
Po obu stronach nierówności mamy logarytm, możemy więc go opuścić. Podstawa logarytmu jest mniejsza niż 1, więc przy opuszczaniu logarytmów zmieniamy znak nierówności.
\(2x+5\leqslant 9\)
\(2x\leqslant 9-5\)
\(2x\leqslant 4\)
\(x\leqslant 2\)
Otrzymany wynik sprawdzamy z dziedzina i otrzymujemy:
\(x\: \epsilon \: \left ( -2\frac{1}{2};2 \right )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest \(x\: \epsilon \: \left ( -2\frac{1}{2};2 \right )\) .
c)
\( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
Najpierw sprawdzamy dziedzinę funkcji:
\(x+7>0\) i \(3-x>0\)
\(x>-7\) i \(x<3\)
Dziedziną funkcji jest: \(x\: \epsilon \: (-7;3)\) .
Przystępujemy do rozwiązywania nierówności:
\(\log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
\(\log_{4} (x+7)+\log_{4} (3-x)\geqslant 2\)
\(\log_{4} \left ( (x+7)\cdot (3-x) \right )\geqslant \log_{4} 4^2\)
\(\log_{4} ( x^2-4x+21 )\geqslant \log_{4} 16\)
Po obu stronach nierówności jest logarytm o tej samej podstawie, możemy więc go opuścić. Podstawą logarytmów jest liczba większa od 1, więc przy opuszczaniu logarytmów nie zmieniamy znaku nierówności.
\(-x^2-4x+21 \geqslant 16\)
\(-x^2-4x+21 -16\geqslant 0\)
\(-x^2-4x+5\geqslant 0\)
Jest to postać nierówności kwadratowej.
\(\Delta =(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot 5=16+20=36\)
\(\sqrt{\Delta}=6\)
\(x_1=\dfrac{4-6}{-2}\) i \(x_2=\dfrac{4+6}{-2}\)
\(x_1=\dfrac{-2}{-2}\) i \(x_2=\dfrac{10}{-2}\)
\(x_1=1\) i \(x_2=-5\)
Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi, więc parabola będąca poniżej osi OX znajduje się w przedziałach:
\(x \: \epsilon \: (-\infty;-5) \cup (1;+\infty)\)
Trzeba uwzględnić jeszcze dziedzinę nierówności \(x\: \epsilon \: (-7;3)\).
Więc wynikiem nierówności będzie:
\(x\: \epsilon \: (-7;-5) \cup (1;3)\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest: \(x\: \epsilon \: (-7;-5) \cup (1;3)\)
d)
\(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\)
Zadanie zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(x+2>0\) i \(2x-5>0\)
\(x>-2\) i \(x>2\frac{1}{2}\)
Więc dziedziną nierówności jest \(x\: \epsilon \: \left ( 2\frac{1}{2};+\infty \right )\)
Rozwiązujemy nierówność z logarytmem:
\(\log_{\frac{1}{5}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{5}} (2x-5)\)
\(\log_{\frac{1}{5}} (x+2)+\log_{\frac{1}{5}} (2x-5)<-1\)
\(\log_{\frac{1}{5}} ((x+2)\cdot (2x-5))< \log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}\)
\(\log_{\frac{1}{5}} (2x^2-x-10)< \log_{\frac{1}{5}} 5\)
Po obu stronach nierówności mamy logarytm z tą samą podstawą. Oznacza to, że możemy opuścić logarytm. Podstawą logarytmu jest liczba mniejsza niż jeden, oznacza to, że przy opuszczaniu logarytmu zmieniamy, znak nierówności.
\(2x^2-x-10> 5\)
\(2x^2-x-10-5> 0\)
\(2x^2-x-15> 0\)
Doprowadziliśmy do postaci nierówności kwadratowej, więc obliczamy deltę:
\(\Delta= (-1)^2-4\cdot 2\cdot (-15)=1+120=121\)
\(\sqrt{\Delta}=11\)
\(x_1=\dfrac{1+11}{2\cdot2}\) i \(x_2=\dfrac{1-11}{2\cdot2}\)
\(x_1=\dfrac{12}{4}\) i \(x_2=\dfrac{-10}{4}\)
\(x_1=3\) i \(x_2=-2\dfrac{1}{2}\)
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, więc obszar w których znajduje się nad osią OX to:
\(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; -2\dfrac{1}{2} \right ) \cup \left (3;+\infty \right )\)
Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:
\(x\: \epsilon \: (3;+\infty )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest \(x\: \epsilon \: (3;+\infty )\) .
Jak obliczyć nierówności logarytmiczne – zadanie 1 - wyniki