Definicja
Niech dany będzie zbiór \(X\), na którym określona jest funkcja. Element \(x\) zbioru \(X\) nazywamy argumentem funkcji.
Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów funkcji.
Najprawdopodobniej nasuwa się teraz pytanie, o co tu chodzi, a odpowiedź jest bardzo prosta:
najczęściej dziedzinę funkcji zapisuje się w postaci:
\(D_f = \:\: R \setminus \left \{ 1 \right \}\)
\(x\:\:\epsilon \:\:R^+\)
\(D= \:<-3;1)\cup (1;+\infty)\)
\(x\:\:\epsilon\: R\: \setminus <-1;3>\)
\(D_f=R\: \setminus \: \left \{ x: \:\:\: x= \dfrac{\Pi }{4} +2\cdot k \cdot \Pi \: ;\: k \epsilon Z \right \} \) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych
Aby obliczyć dziedzinę musicie pamiętać o czterech prostych krokach (chyba że jesteście na studiach matematycznych):
1) czy w naszej funkcji jest jakaś kreska ułamkowa (jakieś dzielenie)
2) czy w naszej funkcji jest jakiś pierwiastek
3) czy w naszej funkcji jest jakiś logarytm
4) czy w naszej funkcji jest tangens lub cotangens
5) czy w naszej funkcji jest jakiś arc (studenci będą wiedzieć, że arc to przedrostek funkcji cyklometrycznej arkus np. arcsin - arkus sinus)
jeśli w naszej funkcji nie ma nic z punktów od 1 do 4 to dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
\(D=R\)
\(3x-6 \neq 0 \:\:\: / :3\)
\(x-2 \neq 0 \:\:\: / +2\)
\(x \neq 2\)
więc \(x\) nie może być dwójką, czyli nasza dziedzina funkcji w tym przypadku wynosi \(D_f=R \setminus \left \{ 2 \right \} \)
- dla funkcji
\(f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}3}]{2x-1} ;\:\:\:\:f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}5}]{3x-12};\:\:\:\:f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}7}]{12x+12}; \cdots\)
dziedziną funkcji jest \(D_f=R\) zbiór liczb rzeczywistych,
- dla funkcji \(f(x)= \sqrt{2x-1}\) to co pod pierwiastkiem nie może być mniejsze od zera:
\(2x-1 \geqslant 0 \:\:\:\:\:/ +1\)
\(2x \geqslant 1 \:\:\:\:/ :2\)
\(x \geqslant 0,5\)
czyli za \(x\) w naszej funkcji wolno nam podstawić liczby większe lub równe \(0,5\), możemy zapisać to w postaci \(D_f=<0,5;+\infty)\)
\(\:\:\:\:f(x)=log_{371}(5x-10)\) to dziedzinę będziemy obliczali tak:
\(5x-10 > 0 \:\:\:\:/ :5\)
\(x-2>0\:\:\:\:/+2\)
\(x>2\)
czyli za \(x\) wolno nam podstawić liczby większe od 2, zapisać to możemy w postaci \(D_f= (2;+\infty)\)
jeśli natomiast \(x\) będziemy mieli w podstawie logarytmy to musimy pamiętać że musi to być większe od zera i musi być różne od liczby jeden, np. \(f(x)= log_{x-3}2\), w takim przypadku dziedzinę będziemy obliczali tak:
\(x-3>0\) oraz \(x-3 \neq 1\)
\(x>3\) oraz \(x\neq4\)
tak więc za \(x\) wolno nam podstawiać liczby większe od trzech z pominięciem czwórki, zapisać naszą dziedzinę funkcji możemy \(D_f=(3;+\infty) \setminus \left \{4 \right \} \)
4) jeśli mamy w naszej funkcji funkcje trygonometryczne np. \(f(x)= 1\cdot x+tg(x)\) to w tangensie wyrażenie musi być różne od \(\dfrac{\Pi }{2} +k\Pi\) gdzie \(k\) to dowolna liczba całkowita, w naszym przypadku mamy:
\(x \neq \dfrac{\Pi }{2} +k\Pi\)
i możemy to zapisać w postaci \(D_f=R\: \setminus \: \left \{ x: \:\:\: x= \dfrac{\Pi }{2} +k\Pi \: ;\: k \epsilon Z \right \} \) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych
podobnie ma się sprawa z funkcją cotangens, np. \(f(x) = 2x^5+3x^1 -ctg(2x+\Pi)\), w cotangensie wyrażenie musi być różne od \(k\Pi\) gdzie \(k\) to dowolna liczba całkowita, w naszym przypadku mamy:
\(2\cdot x +\Pi \neq k\Pi \:\:\:\:/\:-\Pi\)
\(2\cdot x \neq k\Pi-\Pi\)
\(2\cdot x \neq \Pi(k-1)\) jeśli \(k\) jest liczbą całkowitą to \(k-1\) też jest liczbą całkowitą, możemy zapisać więc:
\(2\cdot x \neq p\Pi\) gdzie \(p\) jest dowolną liczbą całkowitą, nastepnie podzielimy obie strony nierówności przez dwa
\(x \neq p\cdot \dfrac{\Pi}{2}\)
naszą dziedzinę funkcji możemy zapisać w następujący sposób \(D_f= R \setminus \{x: \:\:\:x=p\cdot \dfrac{\Pi}{2} \: ; \: k \epsilon Z\}\) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych
5) jeśli mamy w naszej funkcji jakiś \(arcsin()\) lub \(arccos()\) to musimy pamiętać, że to co w arkusiesinusie lub arkusiecosinusie musi być mniejsze lub równe 1 i jednocześnie większe lub równe -1, np. mając \(f(x)= 2x^{5x}+3x^2 +arcsin(4x-7)\) dziedzinę będziemy obliczali:
dziedzina funkcji arcsin (naszej funkcji):
\(4x-7\geqslant -1 \:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\: 4x-7\leqslant 1\) dodając do obu stron nierówności 7 otrzymamy
\( 4x \geqslant 6\:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\: 4x \leqslant 8 \) następnie podzielimy obie strony nierówności przez cztery
\( x \geqslant 1\dfrac{1}{2}\:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\:x \leqslant 2 \)
tak więc \(x\) musi być większy od \(1\dfrac{1}{2}\) i jednocześnie mniejszy od \(2\), naszą dziedzinę funkcji możemy zapisać:
\(D_f= <1\dfrac{1}{2};2>\)
Przykład:
Niech dana będzie funkcja \(f(x)\), oblicz dziedzinę funkcji:
\(f(x)= \dfrac{\sqrt{x+8}}{x+3}+2x^3\)
tak więc w naszej funkcji mamy ułamek oraz pierwiastek, nie mamy logarytmów ani tangensów czy arkusów, więc zajmiemy się najpierw ułamkiem a następnie pierwiastkiem.
ułamek - to co pod kreską ułamkową ma być różne od zera:
\(x+3 \neq 0 \:\:\:\:/ -3\)
\(x \neq -3\)
czyli za \(x\) nie możemy wstawić \(-3\), teraz pierwiastek.
pierwiastek - to co pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero
\(x+8 \geqslant 0 \:\:\:\:/\:-8\)
\(x \geqslant -8\)
czyli nasz \(x\) musi być większy od \(-8\). Podsumowując \(x\) musi być większy od \(-8\) oraz musi być różny od \(-3\), naszą dziedzinę możemy zapisać:
\(D_f=<-8;+\infty> \setminus\:\{-3\}\)
Niech dany będzie zbiór \(X\), na którym określona jest funkcja. Element \(x\) zbioru \(X\) nazywamy argumentem funkcji.
Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów funkcji.
Najprawdopodobniej nasuwa się teraz pytanie, o co tu chodzi, a odpowiedź jest bardzo prosta:
dziedzina to po prostu liczby, które wolno nam wstawić za iks ( \(x\) ) aby można było obliczyć wartość funkcji np. gdy mamy \(f(x)= \dfrac{1}{x}\) to za \(x\) nie wolno nam wstawić zero bo nie wolno dzielić przez zero, więc dziedzina to wszystkie liczby na świecie poza zerem i możemy to zapisać \(D_f=R \setminus \left \{ 0 \right \}\)
najczęściej dziedzinę funkcji zapisuje się w postaci:
\(D_f = \:\: R \setminus \left \{ 1 \right \}\)
\(x\:\:\epsilon \:\:R^+\)
\(D= \:<-3;1)\cup (1;+\infty)\)
\(x\:\:\epsilon\: R\: \setminus <-1;3>\)
\(D_f=R\: \setminus \: \left \{ x: \:\:\: x= \dfrac{\Pi }{4} +2\cdot k \cdot \Pi \: ;\: k \epsilon Z \right \} \) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych
Aby obliczyć dziedzinę musicie pamiętać o czterech prostych krokach (chyba że jesteście na studiach matematycznych):
1) czy w naszej funkcji jest jakaś kreska ułamkowa (jakieś dzielenie)
2) czy w naszej funkcji jest jakiś pierwiastek
3) czy w naszej funkcji jest jakiś logarytm
4) czy w naszej funkcji jest tangens lub cotangens
5) czy w naszej funkcji jest jakiś arc (studenci będą wiedzieć, że arc to przedrostek funkcji cyklometrycznej arkus np. arcsin - arkus sinus)
jeśli w naszej funkcji nie ma nic z punktów od 1 do 4 to dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
\(D=R\)
1) jeśli mamy jakąś kreskę ułamkową np. \(f(x) = \dfrac{2x}{3x-6}\) to musimy pamiętać, że to co jest w mianowniku nie może być zerem więc:
\(3x-6 \neq 0 \:\:\: / :3\)
\(x-2 \neq 0 \:\:\: / +2\)
\(x \neq 2\)
więc \(x\) nie może być dwójką, czyli nasza dziedzina funkcji w tym przypadku wynosi \(D_f=R \setminus \left \{ 2 \right \} \)
2) jeśli mamy jakiś pierwiastek np. \(f(x)= \sqrt{2x-1}\) to pamiętaj, że to co jest pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero, chyba że mielibyśmy pierwiastek stopnia nieparzystego jak \(f(x)=\sqrt[3]{2x-1}\) w tym przypadku pod pierwiastkiem może być dowolna liczba, więc:
- dla funkcji
\(f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}3}]{2x-1} ;\:\:\:\:f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}5}]{3x-12};\:\:\:\:f(x)=\sqrt[{\color{DarkRed}7}]{12x+12}; \cdots\)
dziedziną funkcji jest \(D_f=R\) zbiór liczb rzeczywistych,
- dla funkcji \(f(x)= \sqrt{2x-1}\) to co pod pierwiastkiem nie może być mniejsze od zera:
\(2x-1 \geqslant 0 \:\:\:\:\:/ +1\)
\(2x \geqslant 1 \:\:\:\:/ :2\)
\(x \geqslant 0,5\)
czyli za \(x\) w naszej funkcji wolno nam podstawić liczby większe lub równe \(0,5\), możemy zapisać to w postaci \(D_f=<0,5;+\infty)\)
3) jeśli mamy jakiś logarytm w naszej funkcji np. \(f(x)= log_2 (5x-10)\) to musimy pamiętać, że to co jest w logarytmie musi być większe od zera (zerem też nie może być), więc:
jeśli mamy funkcję \(f(x)=log_2(5x-10);\:\:\:\:f(x)=log(5x-10);\:\:\:\:f(x)=ln(5x-10);\)\(\:\:\:\:f(x)=log_{371}(5x-10)\) to dziedzinę będziemy obliczali tak:
\(5x-10 > 0 \:\:\:\:/ :5\)
\(x-2>0\:\:\:\:/+2\)
\(x>2\)
czyli za \(x\) wolno nam podstawić liczby większe od 2, zapisać to możemy w postaci \(D_f= (2;+\infty)\)
jeśli natomiast \(x\) będziemy mieli w podstawie logarytmy to musimy pamiętać że musi to być większe od zera i musi być różne od liczby jeden, np. \(f(x)= log_{x-3}2\), w takim przypadku dziedzinę będziemy obliczali tak:
\(x-3>0\) oraz \(x-3 \neq 1\)
\(x>3\) oraz \(x\neq4\)
tak więc za \(x\) wolno nam podstawiać liczby większe od trzech z pominięciem czwórki, zapisać naszą dziedzinę funkcji możemy \(D_f=(3;+\infty) \setminus \left \{4 \right \} \)
4) jeśli mamy w naszej funkcji funkcje trygonometryczne np. \(f(x)= 1\cdot x+tg(x)\) to w tangensie wyrażenie musi być różne od \(\dfrac{\Pi }{2} +k\Pi\) gdzie \(k\) to dowolna liczba całkowita, w naszym przypadku mamy:
\(x \neq \dfrac{\Pi }{2} +k\Pi\)
i możemy to zapisać w postaci \(D_f=R\: \setminus \: \left \{ x: \:\:\: x= \dfrac{\Pi }{2} +k\Pi \: ;\: k \epsilon Z \right \} \) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych
podobnie ma się sprawa z funkcją cotangens, np. \(f(x) = 2x^5+3x^1 -ctg(2x+\Pi)\), w cotangensie wyrażenie musi być różne od \(k\Pi\) gdzie \(k\) to dowolna liczba całkowita, w naszym przypadku mamy:
\(2\cdot x +\Pi \neq k\Pi \:\:\:\:/\:-\Pi\)
\(2\cdot x \neq k\Pi-\Pi\)
\(2\cdot x \neq \Pi(k-1)\) jeśli \(k\) jest liczbą całkowitą to \(k-1\) też jest liczbą całkowitą, możemy zapisać więc:
\(2\cdot x \neq p\Pi\) gdzie \(p\) jest dowolną liczbą całkowitą, nastepnie podzielimy obie strony nierówności przez dwa
\(x \neq p\cdot \dfrac{\Pi}{2}\)
naszą dziedzinę funkcji możemy zapisać w następujący sposób \(D_f= R \setminus \{x: \:\:\:x=p\cdot \dfrac{\Pi}{2} \: ; \: k \epsilon Z\}\) gdzie \(Z\) to zbiór liczb całkowitych
5) jeśli mamy w naszej funkcji jakiś \(arcsin()\) lub \(arccos()\) to musimy pamiętać, że to co w arkusiesinusie lub arkusiecosinusie musi być mniejsze lub równe 1 i jednocześnie większe lub równe -1, np. mając \(f(x)= 2x^{5x}+3x^2 +arcsin(4x-7)\) dziedzinę będziemy obliczali:
dziedzina funkcji arcsin (naszej funkcji):
\(4x-7\geqslant -1 \:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\: 4x-7\leqslant 1\) dodając do obu stron nierówności 7 otrzymamy
\( 4x \geqslant 6\:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\: 4x \leqslant 8 \) następnie podzielimy obie strony nierówności przez cztery
\( x \geqslant 1\dfrac{1}{2}\:\:\:\:\: \wedge \:\:\:\:\:x \leqslant 2 \)
tak więc \(x\) musi być większy od \(1\dfrac{1}{2}\) i jednocześnie mniejszy od \(2\), naszą dziedzinę funkcji możemy zapisać:
\(D_f= <1\dfrac{1}{2};2>\)
Przykład:
Niech dana będzie funkcja \(f(x)\), oblicz dziedzinę funkcji:
\(f(x)= \dfrac{\sqrt{x+8}}{x+3}+2x^3\)
tak więc w naszej funkcji mamy ułamek oraz pierwiastek, nie mamy logarytmów ani tangensów czy arkusów, więc zajmiemy się najpierw ułamkiem a następnie pierwiastkiem.
ułamek - to co pod kreską ułamkową ma być różne od zera:
\(x+3 \neq 0 \:\:\:\:/ -3\)
\(x \neq -3\)
czyli za \(x\) nie możemy wstawić \(-3\), teraz pierwiastek.
pierwiastek - to co pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero
\(x+8 \geqslant 0 \:\:\:\:/\:-8\)
\(x \geqslant -8\)
czyli nasz \(x\) musi być większy od \(-8\). Podsumowując \(x\) musi być większy od \(-8\) oraz musi być różny od \(-3\), naszą dziedzinę możemy zapisać:
\(D_f=<-8;+\infty> \setminus\:\{-3\}\)
Dziedzina funkcji Wasze opinie
Bardzo jasno i prosto wyjaśnione.Dziękuję