Wklęsłość i wypukłość - opis

Do zbadania wklęsłości, wypukłości funkcji należy:
1 -  wyznaczyć drugą pochodną funkcji
2 -  przyrównać ją do zera i rozwiązać równanie
3 -  wyznaczyć przedziały wyznaczone przez rozwiązania równania i dziedzinę funkcji
4 - sprawdzić znak drugiej pochodnej w danych przedziałach

W tym artykule nie zajmiemy się obliczaniem przedziałów wklęsłości, wypukłości funkcji z definicji, zaprezentowane będą przykłady omówione krok po kroku. Zagadnienie to jest ściśle związane z punktami przegięcia definicją i przykładami zamieszczonymi w innych artykułach .

Przykład 

Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji \(f(x)=3x^5+10x^4+10x^3\).

Dziedzina funkcji to \(D_f=R\).

Najpierw obliczamy drugą pochodną funkcji:

\(f'(x)=15x^4+40x^3+30x^2\) - pierwsza pochodna

\(f''(x)=60x^3+120x^2+60x\)

\(f''(x)= 60x(x^2+2x+1)\) - druga pochodna

następnie wyliczoną pochodną przyrównujemy do zera i rozwiązujemy.

\(f''(x)=0\)

\(60x(x^2+2x+1)=0\:\:/\: :60\)

\(x(x^2+2x+1)=0\)

\(x=0\:\:\vee \:\: x^2+2x+1=0\)

\(x=0\:\:\vee \:\: (x+1)^2=0\)

\(x=0\:\:\vee \:\: x+1=0\)

\(x_1=0\:\:\vee \:\: x_2=-1\)

mamy więc dwa punkty podejrzane o bycie punktem przegięcia, teraz trzeba sprawdzić znak drugiej pochodnej w każdym z trzech przedziałów (wyznaczonych przez \(x_1\) oraz \(x_2\)), czyli 

1 -  \((-\infty;-1)\)

2 -  \((-1;0)\)

3 -  \((0;+\infty)\)

więc:

1 -  dla \((-\infty;-1)\) wybierzemy -10 i wstawimy do wzoru drugiej pochodnej,

\(f''(-10)=60(-10)((-10)^2+2(-10)+1)=-600(100-20+1)=\)

\(=-600\cdot 81=-48600\)

wynik jest liczbą ujemną, co oznacza, że funkcja jest wklęsła.

2 -  dla \((-1;0)\) wybierzemy \(-\frac{1}{2}\) bo należy do przedziału,

\(f''(-\frac{1}{2})=60(-\frac{1}{2})((-\frac{1}{2})^2+2(-\frac{1}{2})+1)=-30(\frac{1}{4}-1+1)=-30 \cdot \frac{1}{4}=\)

\(=-7\frac{1}{2}\)

wynik podobnie jak w pierwszym przedziale jest liczbą ujemną, co oznacza, że funkcja podstawowa w tym przedziale jest wklęsła.

3 - dla  \((0;+\infty)\) wybierzemy liczbę 10,

\(f''(10)=60\cdot 10(10^2+2\cdot 10+1)=600(100+20+1)=600\cdot 121=\)

\(=72600\)

wynik jest liczbą dodatnią, co oznacza, że funkcja w tym przedziale jest wypukła.

Możemy juz jednoznacznie określić punkty przegięcia:

dla \(x= -1\) z lewej strony druga pochodna jest ujemna, z prawej jest ujemna - wniosek funkcja nie posiada punkt przegięcia dla \(x= -1\)

dla \(x= 0\) z lewej strony druga pochodna jest ujemna, z prawej jest dodatnia - wniosek funkcja posiada punkt przegięcia dla \(x= 0\)

pozostaje wyliczyć jedynie współrzędne punktu przegięcia

\(f(0)=3\cdot 0^5+10\cdot 0^4+10 \cdot 0^3=0\)

Odpowiedź:

Funkcja posiada punkt przegięcia \(A=(0;0)\), funkcja jest wklęsła dla \(x\:\epsilon \:(-\infty;-1)\:\cup(-1;0)\) funkcja jest wypukła dla \(x\:\epsilon \:(0;+\infty)\)