Eszkola

Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną, która na ogół jest określana w dziedzinie zespolonej, tj. \(f: {\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\). Funkcja ta jest postaci:

\(f(z) = {{az+b} \over {cz+d}}\)

Współczynniki \({a, b, c, d \in \mathbb{C}}\) spełniają warunek: \(ad - bc {\neq 0}\), co gwarantuje, że funkcja \(f(z)\) nie redukuje się do funkcji stałej.

Funkcje homograficzne można tak naprawdę określić dla dowolnego ciała \(K\), jako funkcję \(f: K {\rightarrow} K\), gdzie \(a,b,c,d {\in K}\).

Jaka jest dziedzina oraz zbiór wartości funkcji homograficznej?

Rozważmy dwa przypadki.

Dla \(c {\neq 0}\):

- Funkcja homograficzna określona jest dla \(x = {d \over c}\), czyli poza miejscem zerowym mianownika, zatem dziedziną tej funkcji będzie \(K {\setminus} {\{ {d \over c} \}}\) .

- Funkcja ta nie przyjmuje wartości \({ a \over c}\), stąd jej zbiorem wartości jest \(K {\setminus \{ {a \over c} \}}\).

Dla \(c = 0\):

- Funkcja jest określona dla dowolnego \({x \in K}\) oraz przyjmuje dowolne wartości ciała \(K.\)

Warto dodać, że funkcja homograficzna jest funkcją różnowartościową, niezależnie od ciała, w którym jest określona. Czasami nazywana jest homografią. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Przykłady zastosowań:

  • efekt Dopplera,
  • szczególna teoria względności Einsteina,
  • optyka geometryczna - równanie soczewki, zwierciadła.