Granica funkcji w nieskończoności

Granicę funkcji w plus nieskończoności zapisujemy jako: \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)}\), natomiast granicę funkcji w minus nieskończoności zapisujemy jako: \({\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)}\).

Można powiedzieć, że granica funkcji w plus/minus nieskończoności to po prostu wartość, do której dąży funkcja wraz z tym jak argumenty dążą do plus / minus nieskończoności. 

Wprowadźmy teraz nieco ściślejsze definicje:

Granicą funkcji f(x) plus nieskończoności nazywamy liczbę g taką, że: \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = g}\), jeżeli dla każdego ciągu (xn) takiego, że: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = +\infty}\), zachodzi: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n) = g}\).

Granicą funkcji f(x) minus nieskończoności nazywamy liczbę g taką, że: \({\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = g}\), jeżeli dla każdego ciągu (xn) takiego, że:\({\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = -\infty}\), zachodzi: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n) = g}\).

 

Własności granic:

Jeżeli istnieją granice: \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)}\) oraz \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)}\), to:

  • \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (c \cdot f(x))} = {c \cdot \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)}\)
  • \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x)+g(x))} = {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) + \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)}\)
  • \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x)-g(x))} = {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) - \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)}\)
  • \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x) \cdot g(x))} = {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) \cdot \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)}\)
  • jeżeli dodatkowo zakładamy, że \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) \neq 0}\), to: \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} {f(x) \over g(x)}} = {{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)} \over {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)}}\)
  • jeżeli dodatkowo założymy, że \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0}\) oraz \({g \ge 0}\), to: \({\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{f(x)} = \sqrt{g}}\)

Powyższe własności są również prawdziwe w przypadku granicy funkcji w minus nieskończoności.

Jak obliczyć granicę funkcji w nieskończoności? Możemy zastosować poniższe zasady:

  • W przypadku granicy wielomianu, należy wyłączyć przed nawias zmienną o najwyższej potędze.
  • W przypadku granicy funkcji wymiernej, należy wyłączyć przed nawias, zarówno w liczniku, jak i mianowniku, zmienną o najwyższej potędze (w której występuje w mianowniku).

Spójrzmy na przykład. Jak obliczyć \({\displaystyle \lim_{x \to \infty} {x-2 \over x}}\)?

Załóżmy, że \({{x_n \neq 0} \quad \rightarrow \displaystyle \quad \lim_{n \to \infty} x_n = \infty}\)

\({\displaystyle \lim_{x \to \infty} {x-2 \over x} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} {x_n -2 \over x_n} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} {1 - {2 \over x_n} \over 1} = {1-0 \over 1}} = 1\)

 

Obliczmy teraz \({\displaystyle \lim_{x \to \infty} {x^2-2x+1 \over x^2 -1} }\):

\({\displaystyle \lim_{x \to \infty} {x^2-2x+1 \over x^2 -1} } = {\displaystyle \lim_{x \to \infty}} {{x^2(1-{2 \over x}+{1 \over x^2})} \over {x^2(1-{1 \over x^2})}} = {\displaystyle \lim_{x \to \infty} {{1- {2 \over x} + {1 \over x^2}} \over {1-{1 \over x^2}}}} = {{1-0+0} \over {1-0}} = 1\)