Eszkola

Równania wykładnicze i logarytmiczne

Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi. Przykładowo:

\(6^{2x} = 46656\)

Ogólnie, równania wykładnicze rozwiązujemy zapisując obie strony w postaci potęg o tych samych podstawach, tzn.

\(6^{2x} = 6^6\)

Następnie, porównujemy wykładniki: 

\(2x = 6\)

\(2x = 6 {\quad / : 2} {\quad \rightarrow x=3 }\)

Spójrz na inne przykłady:

  • \(3^{3x-6} = 3^{2x+1}\)

\(3x-6 = 2x+1\)

\(x-5=0 {\quad \rightarrow \quad x=5}\)

  • \(6^{2x-1} = 1\)

\(6^{2x-1} = 6^0\)

\(2x-1 = 0 {\quad \rightarrow \quad 2x=1 \quad \rightarrow \quad x={1 \over 2}}\)

Równania logarytmiczne rozwiązujemy natomiast bezpośrednio z definicji logarytmu, tzn. \({log_a b = c \quad \rightarrow \quad a^c = b}.\) W ten sposób można rozwiązać proste równanie logarytmiczne. Ważne, aby zacząć od wyznaczenia dziedziny. 

Spójrzmy na przykład:

\(log_x 4 = 2\)

Założenia: \(x>0\) oraz \(x{\neq} 1.\)

\(x^2 = 4\)

\(x=2 \) lub \(x=-2\)

Po analizie założeń wynika, że rozwiązaniem jest jednak: \(x=2.\)

Inny przykład:

\(log_{3x} 16 = 2\)

Założenia: \(3x >0 {\quad \rightarrow \quad x>0}\) oraz \(3x {\neq 1} {\quad \rightarrow \quad x \neq {1 \over 3}}\)

\((3x)^2 = 16\)

\(3x=4 \) lub \(3x= -4 \)

\(x={4 \over 3}\) lub \(x = {-{4 \over 3}}\)

Po uwzględnieniu założeń wynik to: \(x = {4 \over 3}.\)