Logika

Logika matematyczna umożliwia sprawdzenie, czy dane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Logikę wykorzystuję się w pisaniu gier i programów komputerowych. Podstawowymi narzędziami logiki są koniunkcja, implikacja, alternatywa, równoważność i prawa rachunku zdań. Logika matematyczna zajmuję się tylko takimi zdaniami, którym można przypisać jedną z dwóch wartości: prawdę, którą zwyczajowo oznaczamy jako 1 lub fałsz oznaczany jako 0.

Przykład 1.  Przykładowe zdania logiczne  i ocena ich prawdziwości:

  • "Liczba 7 jest liczbą parzystą" zdanie jest fałszywe, wartość logiczna 0
  • "Liczba 35 jest większa od 24: zdanie jest prawdziwe, wartość logiczna 1 

Koniunkcja to dwa zdania połączone spójnikiem logicznym i, taki spójnik w matematyce oznacza się ∧.  Koniunkcję zdań x i y możemy zapisać matematycznie x ∧ y. Koniunkcja jest prawdziwa, jeżeli oba zdania x i y są prawdziwe.

Przykład 2. Prawdziwość koniunkcji:

  • "Liczba 10 jest liczba parzystą i liczba 6 jest podzielna na 3" zarówno pierwszy człon "Liczba 10 jest liczba parzystą" jak i drugi "liczba 6 jest podzielna na 3" są prawdziwe, zatem i koniunkcja jest prawdziwa.
  • "Liczba 5 jest nieparzysta i liczba 6 jest nieparzysta" pierwszy człon "Liczba 5 jest nieparzysta" jest prawdziwy, natomiast drugi "liczba 6 jest nieparzysta" jest nieprawdziwy, toteż cała koniunkcja też nie jest prawdziwa, bo nie spełniony jest warunek prawdziwości wszystkich zdań.

Alternatywa to dwa zdania logiczne połączone spójnikiem logicznym lub, oznaczanym symbolem v. Alternatywę zdań x lub y możemy zapisać matematycznie x v y. Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli przynajmniej jedno ze zdań jest prawdziwe

Przykład 3. Prawdziwość alternatywy

  • "Liczba 10 jest liczba parzystą lub liczba 6 jest podzielna na 3" zarówno pierwszy człon "Liczba 10 jest liczba parzystą" jak i drugi "liczba 6 jest podzielna na 3" jest prawdziwy zatem i alternatywa jest prawdziwa.
  • "Liczba 8 jest nieparzysta lub liczba 6 jest nieparzysta" pierwszy człon "Liczba 8 jest nieparzysta" jest fałszywy, drugi człon "liczba 6 jest nieparzysta" również nie jest prawdziwy, toteż cała alternatywa jest też nie prawdziwa, bo nie jest spełniony warunek przynajmniej jednego zdania prawdziwego.

Implikacja to dwa zdania logiczne połączone spójnikiem logicznym jeżeli, oznaczanym symbolem ⇒. Implikacja zdań x i y jest fałszywa tylko i wyłącznie wtedy, jeżeli pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Przykład 3. Prawdziwość implikacji:

  • "Jeżeli 4 + 4 = 8, to 5 + 3 = 8" oba zdania są prawdziwe więc i implikacja jest prawdziwa

Równoważność to dwa zdania logiczne połączone zwrotem wtedy i tylko wtedy, gdy oznaczanym symbolem ⇔. Równoważność dwóch zdań x i y jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są równocześnie prawdziwe lub równocześnie fałszywe.

Prawem rachunku zdań (tautologią) nazywamy takie wyrażenie, które zbudowane jest ze zdań prostych i spójników, które zawsze jest zdaniem prawdziwym (niezależnie od wartości zdań prostych). Do najważniejszych praw rachunku zdań należy:

  •  prawo sprzeczności (p(p))
  • prawo wyłączonego środka p(p)
  •  prawo odrywania (p(pq))q
  •  prawo podwójnej negacji p(p)
  •  rozdzielność koniunkcji względem alternatywy (p(qr))((pq)(pr))
  •  rozdzielność alternatywy względem koniunkcji (p(qr))((pq)(pr))
  •  prawo negacji implikacji  ((pq))(p(q))
  •  I prawo de Morgana ((pq))((p)(q))
  •  II prawo de Morgana ((pq))((p)(q))