Granica ciągu - stałą liczbę g nazywa się granicą ciągu an, jeżeli dla każdego dodatniego dowolnie małego ϵ istnieje liczba N, dla której wszystkie wartości an o wskaźniku n > N spełniają nierówność:
|an - g| < ϵ
funkcja f (x) ma granicę w punkcie x0
Przykład 1. Oblicz: \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{n}+2\)
w związku z tym, że n \(\rightarrow \infty\)
to widzimy, że podstawiając coraz większe wartości za n
\(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{n}+2=0+2\)
Twierdzenie o ciągach zbieżnych:
- każdy ciąg stały czyli taki, którego wszystkie wyrazy są równe pewnej liczbie x jest zbieżny a jego granica
\(\lim\limits_{x \to \infty} x=x\) - ciąg zbieżny jest zawsze ograniczony, jednak w odwrotną stronę nie zawsze jest to prawdziwe np w przypadku ciągów naprzemiennych
- granicą każdego podciągu ciągu zbieżnego jest granica tego ciągu
- jeżeli \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n=x\) oraz \(\lim\limits_{n \to \infty} y_n=y\) to istnieją takie zależności
\(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n \pm y_n)=x \pm y\)
\(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n * y_n)=x * y\)
\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\)
Granica ciągu Wasze opinie