Granica ciągu zbieżnego – definicja

Ciągiem zbieżnym nazywamy ciąg, który ma granicę skończoną (czasem mówimy, że ciąg ma granicę właściwą).

Stałą liczbę nazywamy granicą ciągu, jeśli: \({\forall_{\epsilon>0} \exists_{N} \forall_{n>N} |a_n - g| < \epsilon}\), tzn. dla każdego epsilon większego od 0, istnieje takie N, że dla każdego n>N, spełniony jest warunek \(|a_n - g| < {\epsilon}\).

Powyższa nierówność oznacza, że odległość na osi liczbowej dowolnego wyrazu \(a_n\) od \(g\) jest mniejsza od \({\epsilon}\).

Własności:

  • Każdy ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.
  • Ciąg stały, tzn. ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n = x\), gdzie \({x \in \mathbb{R}}\), jest zbieżny oraz jego granicą jest liczba \(x.\)
  • Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
  • Twierdzenie o trzech ciągachJeżeli ciągi (\(a_n\)) oraz (\(b_n\)) są zbieżne, tzn.: \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = g}\) oraz  \({\exists_{k \in \mathbb{N}} \forall_{n>k}} a_n \le c_n \le b_n\), to ciąg (\(c_n\)) jest zbieżny, tj. \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = g}\).
  • Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny.
  • Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.