Eszkola

Granica ciągu rozbieżnego – definicja

Ciągiem rozbieżnym nazywamy ciąg, który nie posiada skończonej granicy. Do ich badania stosuje się pojęcie granicy dolnej oraz granicy górnej. Są to odpowiednio kres dolny oraz górny (czyli najmniejsza oraz największa z granic wszystkich podciągów danego ciągu), definiowane jako:

\({\displaystyle \lim_{n \to \infty} \inf a_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\inf_{k \ge n} a_k}) = {\displaystyle \sup_{n \ge 0} \inf_{k \ge n} a_k}\) (granica dolna ciągu (\(a_n\)))

\({\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sup a_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sup_{k \ge n} a_k}) = {\displaystyle \inf_{n \ge 0} \sup_{k \ge n} a_k}\)(granica górna ciągu (\(a_n\)))

Wśród ciągów rozbieżnych, na szczególną uwagę zasługują ciągi rozbieżne do \({- \infty}\) oraz \({+ \infty}\).

Ciąg (\(a_n\)) jest rozbieżny do \({+ \infty}\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od Mco zapisujemy następująco:

 \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = + \infty} {\quad \leftrightarrow \quad \forall_{M \in \mathbb{R}} \exists_{k \in N} \forall_{n>k}} a_n >M\)

Ciąg (\(a_n\)) jest rozbieżny do \({- \infty}\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od Mco zapisujemy następująco:

\({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = - \infty} {\quad \leftrightarrow \quad \forall_{M \in \mathbb{R}} \exists_{k \in N} \forall_{n>k}} a_n <M\)