Aby obliczyć wyznacznik macierzy 1 na 1 należy skorzystać z wzoru:
\(det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11}
\end{vmatrix} = a_{11}\)
np.
\(det(A) = \begin{vmatrix}
5
\end{vmatrix} = 5\)
Aby obliczyć wyznacznik macierzy 2 na 2 wystarczy skorzystać z wzoru:
\(det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22}-a_{21} \cdot a_{12}\)
np.
\(det(A) = \begin{vmatrix}
-3 & 5\\
-4 & 2
\end{vmatrix} = (-3)\cdot 2-(-4) \cdot 5=-6 \cdot -(-20) = -6+20=14\)
Obliczając wyznacznik macierzy 3 na 3 korzystamy z wzory:
\(det(A)=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}+\)
\(+a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}-a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}-a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}-a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\)
Bardzo dobrym sposobem obliczania wyznacznika macierzy 3 na 3 jest metoda Sarrusa.
Wyznacznik macierzy 4 na 4 posiada dość długą formę dlatego wyznaczniki 4 na 4, 5 na 5 i większe najłatwiej obliczać metodą Laplace'a.
Z macierzą kwadratową ściśle związane jest pojęcie wyznacznika macierzy. Niech dana będzie macierz liczbowa \(A=[a_{ij}]\) o wymiarze \(n \times n\). Wyznacznikiem \(W\) \(n\)-tego stopnia tej macierzy nazywamy liczbę zapisaną w następujący sposób:
\(det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11}
\end{vmatrix} = a_{11}\)
np.
\(det(A) = \begin{vmatrix}
5
\end{vmatrix} = 5\)
Aby obliczyć wyznacznik macierzy 2 na 2 wystarczy skorzystać z wzoru:
\(det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22}-a_{21} \cdot a_{12}\)
np.
\(det(A) = \begin{vmatrix}
-3 & 5\\
-4 & 2
\end{vmatrix} = (-3)\cdot 2-(-4) \cdot 5=-6 \cdot -(-20) = -6+20=14\)
Obliczając wyznacznik macierzy 3 na 3 korzystamy z wzory:
\(det(A)=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}+\)
\(+a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}-a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}-a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}-a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\)
Bardzo dobrym sposobem obliczania wyznacznika macierzy 3 na 3 jest metoda Sarrusa.
Wyznacznik macierzy 4 na 4 posiada dość długą formę dlatego wyznaczniki 4 na 4, 5 na 5 i większe najłatwiej obliczać metodą Laplace'a.
Z macierzą kwadratową ściśle związane jest pojęcie wyznacznika macierzy. Niech dana będzie macierz liczbowa \(A=[a_{ij}]\) o wymiarze \(n \times n\). Wyznacznikiem \(W\) \(n\)-tego stopnia tej macierzy nazywamy liczbę zapisaną w następujący sposób:
\(W = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \: \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}\)
Wyznacznik \(W\) zapisujemy jako \(\text{det}A\) (determinant macierzy \(A\)) lub \(|A|\).
Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy zero.
Macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik jest różny od zera.
Macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik jest różny od zera.
Własności wyznacznika macierzy:
• wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy wyjściowej \(\text{det}A= \text{det}A^T\),
• jeśli macierz \(A\) jest stopnia \(n\), to dla dowolnej stałej \(a\) mamy \(\text{det}(aA) =a^n \text{det}A\),
• zachodzi równość \(\text{det}(AB)= \text{det}A \cdot \text{det} B\),
• dla macierzy nieosobliwej \(A\) mamy \(\text{det} A^TA> 0\),
• jeśli w macierzy \(A\) jest wiersz (kolumna) złożony z samych zer to \(\text{det}A= 0\),
• jeśli w macierzy \(A\) są jednakowe wiersze (kolumny) to \(\text{det}A= 0\),
• jeśli jakiś wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn) to \(\text{det}A= 0\),
• jeśli wiersz (kolumnę) macierzy \(A\) pomnożymy przez dowolną liczbę rzeczywistą to wyznacznik powstałej macierzy będzie równy wyznacznikowi macierzy \(A\) pomnożonemu przez tę liczbę,
• jeśli w macierzy \(A\) zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) to wyznacznik powstałej macierzy będzie równy \(-\text{det}A\),
• wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli do pewnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę różną od zera,
• wyznacznik macierzy trójkątnej (pod przekątną same zera) jest równy iloczynowi elementów naprzekątnej.
\begin{vmatrix}
-4 & -1 & -8\\
1 & 0 & -5 \\
-7 & -2 & -9 \end{vmatrix}\)
-4 & -1 & -8\\
1 & 0 & -5 \\
-7 & -2 & -9 \end{vmatrix}\)
Wyznacznik macierzy Wasze opinie