Metoda eliminacji Gaussa przykład - opis

Metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia, polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli o uzyskanie zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy, ułatwieniem może też być utworzenie jedynki na przekątnej jednak to nie jest konieczne. Aby to uzyskać możemy zamieniać wiersze między sobą, dodawać je do siebie, oraz mnożyć przez liczbę różną od zera.

Omówimy tą metodę na następującym przykładzie, niech dane będą równania:

\(\left\{\begin{matrix} 
-x\:\:+2\cdot y\:\: +z=-1\\
\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:\:-3\cdot y\:\:-2\cdot z = -1\\
3 \cdot x \:\:-y\:\:-z\:=\:\:\:4
\end{matrix}\right.\)

dla uwidocznienia możemy równania zapisać w następujący sposób:

\(\left\{\begin{matrix}
{\color{DarkRed}{-1}}x\:\:{\color{DarkRed}{+2}}\cdot y\:\: {\color{DarkRed}{+1}}z={\color{blue}{-1}}\\
\:\:\:\:\:\:{\color{DarkRed}{1}}x\:\:{\color{DarkRed}{-3}}\cdot y\:\:{\color{DarkRed}{-2}}\cdot z = {\color{blue}{-1}}\\
{\color{DarkRed}{3}} \cdot x \:\:{\color{DarkRed}{-1}}y\:\:{\color{DarkRed}{-1}}z\:=\:\:\:{\color{blue}4}
\end{matrix}\right.\)

tak widoczne współczynniki łatwo można zapisać w postaci macierzy,

\(\begin{matrix}
_x \:\:\:\:\:\:\: _y \:\:\:\:\:\:\: _z\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\
\begin{bmatrix}
-1 & \:\:\:2 & \:\:\:1\\
\:\:\:1 & -3 & -2\\
\:\:\:3 & -1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1\\
-1\\
\:\:\:4
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\)

teraz w pierwszej kolumnie zerujemy liczby pod przekątną, uczynimy to dodając pierwszy wiersz do drugiego wiersza, oraz dodając do trzeciego wiersza wiersz pierwszy pomnożony przez trzy:

\(\begin{bmatrix}
-1 & \:\:\:2 & \:\:\:1\\
\:\:\:1 & -3 & -2\\
\:\:\:3 & -1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1\\
-1\\
\:\:\:4
\end{bmatrix}
\begin{matrix}
\\  _{zostawiamy\: bez \: zmian} \\
_{+ pierwszy \:wiersz}\\
_{+(3\cdot pierwszy\:\: wiersz)}
\end{matrix}\)

czyli:

\(\begin{bmatrix}
-1 & \:\:\:2 & \:\:\:1\\
\:\:\:0 & -1 & -1\\
\:\:\:0 & \:\:\:5 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1\\
\:\:\:-2\\
\:\:\:1
\end{bmatrix}\)

następnie w drugiej kolumnie zerujemy liczbę pod przekątną, a więc do trzeciego wiersza dodamy drugi wiersz pomnożony przez 5, dla ułatwienia 

\(\begin{bmatrix}
-1 & \:\:\:2 & \:\:\:1\\
\:\:\:0 & -1 & -1\\
\:\:\:0 & \:\:\:0 & -3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1\\
-2\\
-9 
\end{bmatrix}\)

teraz

dla przejrzystości możemy zapisać nasze macierze spowrotem w postaci równań (pamiętamy, że pierwsza kolumna odpowiada zmiennej x, druga zmiennej y, trzecia z, a ostatnia to nasze wyniki):

\(\left\{\begin{matrix}
-1\cdot x\:\:\:+2\cdot y \:\:\:+1\cdot z=-1\\
\:\:\:0\cdot x \:\:\:-1\cdot y \:\:\:\:-1 \cdot z = -2\\
\:\:\:0\cdot x\:\:\:\: +0\cdot y\:\:\: -3\cdot z = -9
\end{matrix}\right.\) 

po uproszczeniu mamy:

\(\left\{\begin{matrix}
-1\cdot x\:\:\:+2\cdot y \:\:\:+1\cdot z=-1\\
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-1\cdot y \:\:\:\:-1 \cdot z = -2\\
\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -3\cdot z = -9
\end{matrix}\right.\)

teraz możemy wyliczać nasze zmienne, zaczynając od ostatniego równania:

\(-3\cdot z=-9 /  :(-3) \)
\(z=3\)

i pierwsza niewiadoma już jasna teraz wstawiamy do drugiego równania:

\(-1\cdot y -1 \cdot z = -2\) podstawiamy za \(z=3\)

\(-1\cdot y-1\cdot 3 =-2\)

\(-1 \cdot y -3=-2 \: \: / +3\)

\(-1 \cdot y = -2+3\)

\(-1 \cdot y = 1 \:\: / \cdot (-1) \)

\(y=-1\)

druga niewiadoma, już wyliczona, teraz możemy wstawić do pierwszego równania:

\(-1\cdot x+2\cdot y +1\cdot z=-1\) podstawiamy za \(z=3\), \(y=-1\)

\(-1\cdot x+2\cdot (-1) +1\cdot 3=-1\)

\(-1\cdot x-2 +3=-1\)

\(-1\cdot x +1=-1 \:\: /-1 \)

\(-1 \cdot x= -2 \:\: / \cdot(-1)\)

\(x= 2\)

tak więc rozwiązaniem naszego układu równań jest:

\(\left\{\begin{matrix}
x=\:\:\:2\\
y=-1\\
z=\:\:\:3
\end{matrix}\right.\)