Eszkola

# Wzór macierzy odwrotnej 4x4 wzór

## Wzór na macierz odwrotną 4x4

Mając macierz $$A$$ taką że:

$$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}$$

Macierz odwrotną można obliczyć w następujący sposób:

jeżeli:

$$det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}+a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}+a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}+a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}+a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}+a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}+a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}+a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}-a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}-a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}-a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}+$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}-a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}-a_{14}a_{23}a_{31}a_{42} \neq 0$$

to macierz odwrotna wynosi:

$$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}\\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} \end{bmatrix}$$

gdzie:

$$b_{11}= a_{22}a_{33}a_{44} +a_{23}a_{34}a_{42} +a_{24}a_{32}a_{43} -a_{22}a_{34}a_{43} -a_{23}a_{32}a_{44} -a_{24}a_{33}a_{42}$$

$$b_{12}= a_{12}a_{34}a_{43} +a_{13}a_{32}a_{44} +a_{14}a_{33}a_{42} -a_{12}a_{33}a_{44} -a_{13}a_{34}a_{42} -a_{14}a_{32}a_{43}$$

$$b_{13}= a_{12}a_{23}a_{44} +a_{13}a_{24}a_{42} +a_{14}a_{22}a_{43} -a_{12}a_{24}a_{43} -a_{13}a_{22}a_{44} -a_{14}a_{23}a_{42}$$

$$b_{14}= a_{12}a_{24}a_{33} +a_{13}a_{22}a_{34} +a_{14}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{23}a_{34} -a_{13}a_{24}a_{32} -a_{14}a_{22}a_{33}$$

$$b_{21}= a_{21}a_{34}a_{43} +a_{23}a_{31}a_{44} +a_{24}a_{33}a_{41} -a_{21}a_{33}a_{44} -a_{23}a_{34}a_{41} -a_{24}a_{31}a_{43}$$

$$b_{22}= a_{11}a_{33}a_{44} +a_{13}a_{34}a_{41} +a_{14}a_{31}a_{43} -a_{11}a_{34}a_{43} -a_{13}a_{31}a_{44} -a_{14}a_{33}a_{41}$$

$$b_{23}= a_{11}a_{24}a_{43} +a_{13}a_{21}a_{44} +a_{14}a_{23}a_{41} -a_{11}a_{23}a_{44} -a_{13}a_{24}a_{41} -a_{14}a_{21}a_{43}$$

$$b_{24}= a_{11}a_{23}a_{34} +a_{13}a_{24}a_{31} +a_{14}a_{21}a_{33} -a_{11}a_{24}a_{33} -a_{13}a_{21}a_{34} -a_{14}a_{23}a_{31}$$

$$b_{31}= a_{21}a_{32}a_{44} +a_{22}a_{34}a_{41} +a_{24}a_{31}a_{42} -a_{21}a_{34}a_{42} -a_{22}a_{31}a_{44} -a_{24}a_{32}a_{41}$$

$$b_{32}= a_{11}a_{34}a_{42} +a_{12}a_{31}a_{44} +a_{14}a_{32}a_{41} -a_{11}a_{32}a_{44} -a_{12}a_{34}a_{41} -a_{14}a_{31}a_{42}$$

$$b_{33}= a_{11}a_{22}a_{44} +a_{12}a_{24}a_{41} +a_{14}a_{21}a_{42} -a_{11}a_{24}a_{42} -a_{12}a_{21}a_{44} -a_{14}a_{22}a_{41}$$

$$b_{34}= a_{11}a_{24}a_{32} +a_{12}a_{21}a_{34} +a_{14}a_{22}a_{31} -a_{11}a_{22}a_{34} -a_{12}a_{24}a_{31} -a_{14}a_{21}a_{32}$$

$$b_{41}= a_{21}a_{33}a_{42} +a_{22}a_{31}a_{43} +a_{23}a_{32}a_{41} -a_{21}a_{32}a_{43} -a_{22}a_{33}a_{41} -a_{23}a_{31}a_{42}$$

$$b_{42}= a_{11}a_{32}a_{43} +a_{12}a_{33}a_{41} +a_{13}a_{31}a_{42} -a_{11}a_{33}a_{42} -a_{12}a_{31}a_{43} -a_{13}a_{32}a_{41}$$

$$b_{43}= a_{11}a_{23}a_{42} +a_{12}a_{21}a_{43} +a_{13}a_{22}a_{41} -a_{11}a_{22}a_{43} -a_{12}a_{23}a_{41} -a_{13}a_{21}a_{42}$$

$$b_{44}= a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}$$

2×1 =