Zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania układów równań
Metoda ta polega na:
1) zapisaniu układu równań w postaci macierzowej (bardzo łatwe),
2) obliczenie macierzy odwrotnej (trudność zależy od ilości równań)
3) pomnożenie obliczonej macierzy odwrotnej z macierzą wynikową
4) zapisanie wyników
Kiedy można stosować metodę macierzy odwrotnej do rozwiązywania równań:
- wyznacznik macierzy jest różny od zera
- ilość niewiadomych jest równa ilości równań
Wyjaśnimy tą metodę na przykładzie 3 równań z 3 niewiadomymi. Niech dany będzie układ równań taki, że:
\(\left\{\begin{matrix}
2x\:-y\:+z=7\\
\:x\:-y\:2z=6\\
5x-2y+2z=15
\end{matrix}\right.\)
patrząc na nasz układ w ten sposób:
\(\left\{\begin{matrix}
{\color{DarkRed}{2}}x\:{\color{DarkRed}{-1}}y\:{\color{DarkRed}{+1}}z={\color{DarkGreen}{7}}\\
\:{\color{DarkRed}{1}}x\:{\color{DarkRed}{-1}}y\:{\color{DarkRed}{+2}}z={\color{DarkGreen}{6}}\\
{\color{DarkRed}{5}}x{\color{DarkRed}{-2}}y{\color{DarkRed}{+2}}z={\color{DarkGreen}{15}}
\end{matrix}\right.\)
nasz układ możemy zapisać w postaci:
\(\begin{matrix}
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\color{DarkRed}{A}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\color{DarkGreen}B}\\
{\color{DarkRed}{\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & -1 & 2\\
5 & -2 & 2
\end{bmatrix}}}\cdot \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}={\color{DarkGreen}{\begin{bmatrix}
7\\
6\\
15
\end{bmatrix}}}
\end{matrix}\)
tak więc nasz układ równań możemy zapisać w postaci
\(A \cdot x = B\)
najpierw trzeba sprawdzić czy wyznacznik macierzy \(A\) jest różny od zera:
\(det(A)=\begin{vmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & -1 & 2\\
5 & -2 & 2
\end{vmatrix} =-1\)
wyznacznik jest równy \(-1\) czyli jest różny od zera, aby rozwiązać zwykłe równanie \(Ax=B\) trzeba obie strony równania podzielić przez \(A\), jednak tu mamy macierze i strawa wygląda troszkę inaczej, aby pozbyć się \(A\) z lewej strony równania trzeba pomnożyć obie strony równania przez \(A^{-1}\) lewostronnie (jest to bardzo ważne, A jest z lewej strony \(x\), poza tym w macierzach \(A\cdot B \neq B\cdot A\), czyli:
\(A^{-1}\cdot A \cdot x = A_{-1}\cdot B\)
a ponieważ \(A^{-1}\cdot A =1\) to możemy zapisać:
\(x=A^{-1}\cdot B\)
Z tego właśnie powodu musimy obliczyć macierz odwrotną do macierzy \(A\), nasza macierz odwrotna będzie wynosić:
\(A^{-1}=\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
-8 & 1 & 3\\
-3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\)
teraz nasz układ wygląda tak:
\(x=A^{-1}\cdot B\) czyli
\(\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
-8 & 1 & 3\\
-3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
7\\
6\\
15
\end{bmatrix}\)
po wymnożeniu macierzy \(A^{-1}\cdot B\) otrzymamy:
\(\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\:\:\:1\\
-5\\
\:\:\:0
\end{bmatrix}\)
a więc rozwiązaniem naszego równania jest:
\(\left\{\begin{matrix}
x=\:\:\:1\\
y=-5\\
z=\:\:\:0
\end{matrix}\right.\)
W taki oto, moim zdaniem dość prosty sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu równań.
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\color{DarkRed}{A}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\color{DarkGreen}B}\\
{\color{DarkRed}{\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & -1 & 2\\
5 & -2 & 2
\end{bmatrix}}}\cdot \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}={\color{DarkGreen}{\begin{bmatrix}
7\\
6\\
15
\end{bmatrix}}}
\end{matrix}\)
tak więc nasz układ równań możemy zapisać w postaci
\(A \cdot x = B\)
najpierw trzeba sprawdzić czy wyznacznik macierzy \(A\) jest różny od zera:
\(det(A)=\begin{vmatrix}
2 & -1 & 1\\
1 & -1 & 2\\
5 & -2 & 2
\end{vmatrix} =-1\)
wyznacznik jest równy \(-1\) czyli jest różny od zera, aby rozwiązać zwykłe równanie \(Ax=B\) trzeba obie strony równania podzielić przez \(A\), jednak tu mamy macierze i strawa wygląda troszkę inaczej, aby pozbyć się \(A\) z lewej strony równania trzeba pomnożyć obie strony równania przez \(A^{-1}\) lewostronnie (jest to bardzo ważne, A jest z lewej strony \(x\), poza tym w macierzach \(A\cdot B \neq B\cdot A\), czyli:
\(A^{-1}\cdot A \cdot x = A_{-1}\cdot B\)
a ponieważ \(A^{-1}\cdot A =1\) to możemy zapisać:
\(x=A^{-1}\cdot B\)
Z tego właśnie powodu musimy obliczyć macierz odwrotną do macierzy \(A\), nasza macierz odwrotna będzie wynosić:
\(A^{-1}=\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
-8 & 1 & 3\\
-3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\)
teraz nasz układ wygląda tak:
\(x=A^{-1}\cdot B\) czyli
\(\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
-8 & 1 & 3\\
-3 & 1 & 1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
7\\
6\\
15
\end{bmatrix}\)
po wymnożeniu macierzy \(A^{-1}\cdot B\) otrzymamy:
\(\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\:\:\:1\\
-5\\
\:\:\:0
\end{bmatrix}\)
a więc rozwiązaniem naszego równania jest:
\(\left\{\begin{matrix}
x=\:\:\:1\\
y=-5\\
z=\:\:\:0
\end{matrix}\right.\)
W taki oto, moim zdaniem dość prosty sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu równań.
Zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania układów równań Wasze opinie
super poradnik mordeczko bardzo fajny pomogl mi bardzo poelcam