Eszkola

Granica ciągu

Granicą ciągu nazywamy wartość, w której otoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy danego ciągu. Granicę ciągu \(a_n\) zapisujemy w postaci: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n}\).

W przypadku prostych ciągów, liczenie granicy jest niezwykle banalne. Wystarczy policzyć kilka pierwszych wyrazów, aby łatwo zgadnąć do jakiej liczby zbieżny jest dany ciąg. Przykładowo:

\({\displaystyle \lim_{n \to \infty} {1 \over n}}\)  

\(n\) 1 2 3 4 \({ \rightarrow \infty}\)
\({1 \over n}\) 1 \({1 \over 2}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 4}\) \({\rightarrow 0}\)

Warto wspomnieć, że ciąg może być rozbieżny do \({+\infty} \) lub \({- \infty}\); może również nie mieć granicy w ogóle.

Podstawowe własności granicy ciągu:

  • Jeżeli a jest dowolną liczbą rzeczywistą oraz \({|a| < 1}\), to: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n} = 0\), jeżeli natomiast \(a>1\), to: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty}\).
  • Jeżeli \(a>0\), to \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}} =1\).

Niech \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n} = a\) oraz \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = b}\), wtedy:

  • \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)} = a+b\)
  • \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n)} = a-b\)
  • \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)} = {a \cdot b}\)
  • \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_n \over {b_n}}} = {a \over b}\) (oczywiście \({b_n \neq 0, b \neq 0}\))

 Przykładowo, jak wyznaczyć granicę ciągu \(a_n= {1 \over n} +5\)?

\({\displaystyle \lim_{n \to \infty} ({1 \over n} +5)}\)

Wiemy, że w tym przypadku \({{1 \over n} \quad \rightarrow \quad 0}\), zatem: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} ({1 \over n} +5)} = 5\).

Inną definicją granicy ciągu z jaką możemy się spotkać jest:

Stałą liczbę nazywamy granicą ciągu, jeśli: \({\forall_{\epsilon >0} \exists_{ N }\forall_{ n>N}} |a_n - g|<{\epsilon}\), tzn. dla każdego epsilon większego od 0, istnieje takie N, że dla każdego n>N, spełniony jest warunek \(|a_n - g| <{\epsilon}\).

Warto o tym wspomnieć, ponieważ zdarza się rozwiązywać granice ciągów z tej definicji.