Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
Warunkiem koniecznym istnienia w punkcie \(x_0\) punktu przegięcia w przypadku gdy funkcja \(y=f(x)\) ma druga pochodną w otoczeniu punktu \(x_0\), jest \(f''(x_0)=0\).
Oznacz to, że aby istniał punkt przegięcia wartość drugiej pochodnej w tym punkcie musi być równa zero, nie jest to jednak warunek wystarczający.
Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja w pewnym otoczeniu \(\eta\) punktu \(x_0\) ma ciągłą drugą pochodną i spełnia następujące warunki:
1) druga pochodna w punkcie \(P_0(x_0;f(x_0))\) jest równa zero - \(f(x_0)=0\)
2) jeden z podpunktów a) lub b)
a) w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) druga pochodna jest ujemna, a prawostronna dodatnia
\(f''(x)<0\) dla \(x_0-\eta<x<x_0\) oraz
\(f''(x)>0\) dla \(x_0<x<x_0+\eta\)
b) w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) druga pochodna jest dodatnia, a prawostronna ujemna
\(f''(x)>0\) dla \(x_0-\eta<x<x_0\) oraz
\(f''(x)<0\) dla \(x_0<x<x_0+\eta\)
to w punkcie \(P_0(x_0;f(x_0))\) krzywa \(y=f(x)\) posiada punkt przegięcia
Punkt przegięcia krzywej - jak stosować w praktyce?