Eszkola

Rozwiniecie Laplace'a – Zadanie 1 obliczenia

Oblicz wyznacznik macierzy, wykorzystując rozwinięcie Laplace’a.
\(A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 3\\
1 & 0 & -4 & 5\\
5 & 2 & 0 & 2\\
1 & -5 & -2 & 1
\end{bmatrix}\)
 

Aby w jak najprostszy sposób obliczyć wyznacznik wykorzystując rozwinięcie Laplace’a, należy wybrać wiersz lub kolumnę z największą ilością zer, jeśli nie znajdujemy takiej, to sami ją tworzymy. W zadaniu, w trzeciej kolumnie mamy dwa zera. Idealną sytuacją byłaby taka, w której mielibyśmy trzy zera i do takiej sytuacji doprowadzimy. Od drugiego wiersza odejmiemy wiersz czwarty pomnożony przez dwa:


\(\begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 & 3\\
-1 & 10 & 0 & 3\\
5 & 2 & 0 & 2\\
1 & -5 & -2 & 1
\end{vmatrix}\)

Tak przekształcony wyznacznik możemy uprościć wykorzystując rozwinięcie Laplace'a, więc:

\(\begin{vmatrix}
1 & -2 & {\color{DarkRed} 0} & 3\\
-1 & 10 & {\color{DarkRed}0} & 3\\
5 & 2 & {\color{DarkRed}0} & 2\\
1 & -5 & {\color{DarkGreen}{-2}} & 1
\end{vmatrix}=\)

\(=(-1)^{1+3}\cdot {\color{DarkRed}0}\cdot \begin{vmatrix}
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2\\
1 & -5 & 1
\end{vmatrix}
+
(-1)^{2+3}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
5 & 2 & 2\\
1 & -5 & 1
\end{vmatrix}
+
(-1)^{3+3}\cdot {\color{DarkRed}0}\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
1 & -5 & 1
\end{vmatrix}
+
(-1)^{4+3}\cdot ({\color{DarkGreen}{-2}})\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}\)

Teraz widać, że wyrazy z zerem powodują zerowanie się wyrazów i w ostateczności zostaje nam:

\(\begin{vmatrix}
1 & -2 & {\color{DarkRed} 0} & 3\\
-1 & 10 & {\color{DarkRed}0} & 3\\
5 & 2 & {\color{DarkRed}0} & 2\\
1 & -5 & {\color{DarkGreen}{-2}} & 1
\end{vmatrix}=

(-1)^{4+3}\cdot ({\color{DarkGreen}{-2}})\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}\)

 

 

Współczynniki przed wyznacznikiem obliczamy, a sam wyznacznik ponownie przygotowujemy do rozwinięcia Laplace’a, tworząc jak najwięcej zer w dowolnej kolumnie lub wierszu. Chyba najłatwiej będzie zerować pierwszy wiersz: do drugiej kolumny dodajemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez 2, od trzeciej kolumny odejmujemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez 3, więc:


\((-1)^{4+3}\cdot ({\color{DarkGreen}{-2}})\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}=2\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}
=
2\cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 8 & 6\\
5 & 12 & -13
\end{vmatrix}\)

Tak przekształcony wyznacznik przekształcamy rozwinięciem Laplace’a:

\(2\cdot \begin{vmatrix}
{\color{DarkGreen}1} & {\color{DarkRed}0} & {\color{DarkRed}0}\\
-1 & 8 & 6\\
5 & 12 & -13
\end{vmatrix}=
2\cdot \left (
(-1)^{1+1}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}
+
(-1)^{1+2}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 6\\
5 & -13
\end{vmatrix}
+
(-1)^{1+3}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 8\\
5 & 12
\end{vmatrix}
\right )\)

Wyrazy z zerem się redukują, ponieważ mnożenie przez zero daje zero, więc ostatecznie otrzymujemy:

\(2\cdot \begin{vmatrix}
{\color{DarkGreen}1} & {\color{DarkRed}0} & {\color{DarkRed}0}\\
-1 & 8 & 6\\
5 & 12 & -13
\end{vmatrix}=
2\cdot (-1)^{1+1}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}
=2\cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}\)

Tak uproszczony wyznacznik obliczamy:

\(2\cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}=
2\cdot (8\cdot (-13) -6\cdot 12)=2\cdot (-104-72)=\)

\(=2\cdot (-176)=-352\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem zadania jest \(det(A)=-352\).

 

 

Jak obliczyć rozwiniecie laplace'a – zadanie 1 - wyniki

  • J Jan 24.06.2023

    Mogę się mylić ale w dokładnie tym miejscu " do drugiej kolumny dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 2, od trzeciej kolumny odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3" jest błąd. To zdanie nie powinno brzmieć "do drugiej kolumny dodajemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez 2, od trzeciej kolumny odejmujemy pierwszą kolumnę pomnożoną przez 3"?

Zobacz również