Za pomocą indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnego \(n\epsilon N\) prawdziwe jest wyrażenie:
\(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\)
Dla ułatwienia podane wyrażenie można zapisać w postaci:
\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2\)
Jest to suma liczb nieparzystych.
Rozwiązanie
1) Sprawdzamy równanie dla \(n=1\)
\(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\)
\(\sum_{k=1}^{1}(2k-1)=1^2\)
\(2\cdot 1-1=1\)
\(2-1=1\)
\(1=1\)
Warunek pierwszy jest prawdziwy, można przejść do punktu drugiego:
2) Zakładamy, że równanie jest prawdziwe dla liczby naturalnej \(k \geqslant 1\):
\(1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^2\)
3) Wykorzystując założenie z punktu drugiego, udowadniamy prawdziwość równania dla \(k+1\):
\(1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^2\)
Łatwo zauważyć, że część równanie po lewej stronie to założenie z punktu drugiego, wstawimy zamiast \(1+3+5+\cdots +(2k-1)\) wyrażenie \(k^2\), więc:
\(k^2+(2(k+1)-1)=(k+1)^2\)
następnie rozwiązujemy, by sprawdzić czy tak powstałe wyrażenie jest prawdziwe,
\(k^2+(2(k+1)-1)=(k+1)^2\)
\(k^2+2k+2-1=(k+1)^2\)
\(k^2+2k+1=k^2+2k+1\)
\(0=0\)
\(L=P\)
Lewa strona równa się prawej, więc wyrażenie jest prawdziwe.
Oznacza to, że właśnie udowodniliśmy, że wyrażenie \(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\) jest prawdziwe dla \(k+1\) pod warunkiem, że prawdziwe jest dla \(k\). Wiemy też z punktu 1) że wyrażenie jest prawdziwe dla \(1\). Oznacza to, że wyrażenie jest prawdziwe dla liczb naturalnych \(n\) od \(1\) przez każdą następną, aż do nieskończoności.
Odpowiedź: udowodniono prawdziwość wyrażenia \(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\) dla \(n\epsilon N\).
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Jak obliczyć indukcja matematyczna – zadanie 1 - wyniki