Indukcja matematyczna – Zadanie 3 obliczenia

Za pomocą indukcji matematycznej wykaż, że wyrażenie \(n(n+1)(2n+1)\) jest podzielne przez \(6\) dla liczby naturalnej \(n\geqslant 1\).

Rozwiązanie

1) Sprawdzamy prawdziwość wyrażenia dla \(n=1\)

\(1(1+1)(2\cdot 1+1)=1\cdot 2\cdot 3=6\)

Wyrażenie dla \(n=1\) przyjmuje wartość \(6\) więc jest podzielne przez \(6\)

2) Dla ułatwienia przyjmujemy, że istnieje takie \( w\epsilon N\), że \(n(n+1)(2n+1)=6\cdot w\)

Zgodnie z definicją zakładamy, prawdziwość równania dla \(k \geqslant 1\):

\(k(k+1)(2k+1)=6\cdot w\)

3) Sprawdzamy czy przy założeniu pkt. 2) prawdziwe jest twierdzenie dla \(k+1\):

\((k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)=6\cdot s\)

\((k+1)(k+1+1)(2k+2+1)=6\cdot s\)

\((k+1)(k+2)(2k+3)=6\cdot s\)

\((k+2)(k+1)(2k+1+2)=6\cdot s\)

\(k(k+1)(2k+1+2)+2(k+1)(2k+1+2)=6\cdot s\)

\({\color{DarkRed}{k(k+1)(2k+1)}}+2k(k+1)+2(k+1)(2k+1+2)=6\cdot s\)

Zauważamy, że cześć wyrażenia to założenie z pkt. 2) wstawiamy wiec za nie resztę wyrażenia:

\(6\cdot w+2k(k+1)+2(k+1)(2k+1+2)=6\cdot s\)

\(6\cdot w+ 2(k+1)(k+2k+3)  =6\cdot s\)

\(6\cdot w+ 2(k+1)(3k+3)  =6\cdot s\)

\(6\cdot w+ 6(k+1)(k+1)  =6\cdot s\)

Jak widać powyższe wyrażenie przekształciliśmy do postaci w której podstawiając dowolne \(k \geqslant1\) i będące liczbą naturalną otrzymamy zawsze wyrażenie podzielne przez \(6\).

Odpowiedź: Prawdziwa jest teza, że dla \(n\epsilon N\) wyrażenie \( n(n+1)(2n+1)\) jest podzielne przez 6.


Zadanie 1 

Zadanie 2 

Zadanie 4