Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\) prawdziwy jest wzór:
\(\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Powyższe wyrażenie można też zapisać w postaci:
\(1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Czyli wzór na sumę liczb naturalnych.
Rozwiązanie
1) Sprawdzamy prawdziwość równania dla \(n=1\)
\(1=\dfrac{1(1+1)}{2}\)
\(1=\dfrac{1\cdot 2}{2}\)
\(1=\dfrac{1}{1}\)
\(1=1\)
\(L=P\)
równanie jest prawdziwe dla \(n=1\)
2) Zakładamy, że równanie jest prawdziwe dla liczby naturalnej \(k \geqslant 1\):
\(1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2}\)
3) Wykorzystując założenie z punktu drugiego, udowadniamy prawdziwość równania dla \(k+1\):
\(1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\)
Trzeba zauważyć, że część wyrażenia po lewej stronie równania \(1+2+3+\cdots +k\) to lewa strona założenia z punktu 2), podstawiamy wiec za nią resztę założenia z pkt. 2):
\(\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\)
pozostało rozwiązać równanie,
\(\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \:\: / \: \cdot 2\)
\(k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+1+1)\)
\(k^2+k+2k+2=k^2+2k+k+2\)
\(0=0\)
\(L=P\)
Podsumowując – udowodniliśmy prawdziwość wzoru dla \(n=1\). Następnie zakładając, że wzór jest prawdziwy dla \(k\) udowodniliśmy, że jest prawdziwy dla \(k+1\).
Odpowiedź: Wzór \(\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\) jest prawdziwy i udowodniony za pomocą indukcji matematycznej.
Zadanie 1
Zadanie 3
Zadanie 4
Jak obliczyć indukcja matematyczna – zadanie 2 - wyniki