Odległość punktu od prostej – Zadanie 1 obliczenia

Oblicz odległość punktu od prostej:
a) \(A=(1;1)\) \(2x+6y+2=0\)

b) \(A=(5;7)\) \(x+2y-8=0\)

c) \(A=(-2;-5)\) \(y=2x+5\)

d) \(A=(-1;0)\) \(y=-x-2\)

W zadaniu korzystamy z wzoru

\(d=\dfrac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Rozwiązanie
a)
\(A=(1;1)\) \(2x+6y+2=0\)

Łatwo zauważyć, że \(x_0=1 \: ; y_0=1 \: ; A=2 \: ; B=6 \: ; C=2 \). Mając te dane, możemy podstawić do wzoru:

\(d=\dfrac{\left | 2\cdot 1+6\cdot 1+6 \right |}{\sqrt{2^2+6^2}} \)

\(d=\dfrac{\left | 2+6+6 \right |}{\sqrt{4+36}} \)

\(d=\dfrac{\left | 14 \right |}{\sqrt{40}} \)

\(d=\dfrac{ 14 }{\sqrt{40}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{40}} \)

\(d=\dfrac{ 14\sqrt{40} }{40} \)

\(d=\dfrac{ 7\cdot 2\sqrt{10} }{20} \)

\(d=\dfrac{ 7\sqrt{10} }{10} \)

Odpowiedź: Punkt A jest oddalony od prostej o \(d=\dfrac{ 7\sqrt{10} }{10} \).

b)
\(A=(5;7)\) \(x+2y-8=0\)

Łatwo zauważyć, że \(x_0=5 \: ; y_0=5 \: ; A=1 \: ; B=2 \: ; C=-8 \). Mając te dane, możemy podstawić do wzoru:

\(d=\dfrac{\left | 1\cdot 5+2\cdot 5-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2}} \)

\(d=\dfrac{\left | 5+10-8 \right |}{\sqrt{1+4}} \)

\(d=\dfrac{\left | 7 \right |}{\sqrt{5}} \)

\(d=\dfrac{ 7 }{\sqrt{5}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{5}} \)

\(d=\dfrac{ 7\sqrt{5} }{5} \)

Odpowiedź: Punkt A jest oddalony od prostej o \(d=\dfrac{ 7\sqrt{5} }{5} \).

c)
\(A=(-2;-5)\) \(y=2x+5\)

Najpierw należy wzór funkcji przekształcić do postaci ogólnej, czyli przenieść wszystko na jedną stronę.

\(y=2x+5\)

\(-2x+y-5=0\)

Łatwo zauważyć, że \(x_0=-2 \: ; y_0=-5 \: ; A=-2 \: ; B=1 \: ; C=-5 \). Mając te dane, możemy podstawić do wzoru:

\(d=\dfrac{\left | -2\cdot (-2)+1\cdot (-5)-5 \right |}{\sqrt{(-2)^2+1^2}} \)

\(d=\dfrac{\left | 4-5-5 \right |}{\sqrt{4+1}} \)

\(d=\dfrac{\left | -6 \right |}{\sqrt{5}} \)

\(d=\dfrac{ 6 }{\sqrt{5}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{5}} \)

\(d=\dfrac{ 6\sqrt{5} }{5} \)

Odpowiedź: Punkt A jest oddalony od prostej o \(d=\dfrac{ 6\sqrt{5} }{5} \).

d)
\(A=(-1;0)\) \(y=-x-2\)

Najpierw należy wzór funkcji przekształcić do postaci ogólnej, czyli przenieść wszystko na jedną stronę.

\(y=-x-2\)

\(x+y+2=0\)

Łatwo zauważyć, że \(x_0=-1 \: ; y_0=0 \: ; A=1 \: ; B=1 \: ; C=2 \). Mając te dane, możemy podstawić do wzoru:

\(d=\dfrac{\left | 1\cdot (-1)+1\cdot 0+2 \right |}{\sqrt{1^2+1^2}} \)

\(d=\dfrac{\left | -1+0+2 \right |}{\sqrt{1+1}} \)

\(d=\dfrac{\left | 1 \right |}{\sqrt{2}} \)

\(d=\dfrac{ 1 }{\sqrt{2}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{2}} \)

\(d=\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \)

Odpowiedź: Punkt A jest oddalony od prostej o \(d=\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \).