Indukcja matematyczna – Zadanie 4 obliczenia

Udowodnij, że \(10^n+4^n-2\) jest podzielne przez 3 dla liczby naturalnej \(n\geqslant 1\).

Rozwiązanie

1) Sprawdzamy prawdziwość wyrażenia dla \(n=1\)

\(10^1+4^1-2=10+4-2=12\)

\(12\) jest liczbą podzielną przez trzy, wiec wyrażenie jest podzielne przez trzy dla \(n=1\).

2) Zakładamy, że wyrażenie jest prawdziwe dla \(k \geqslant 1\) oraz dla:

\(10^k+4^k-2=3w\)

dla \(w\epsilon N\).

3) wykorzystując założenie z pkt. 2) postaramy się udowodnić, że prawdziwość wyrażenia dla \(k+1\):

\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=3s\)

\(10\cdot 10^k+4\cdot 4^2-2=3s \:\:\:\:\: / \: +6\cdot 4^n-18\)

\(10\cdot 10^k+4\cdot 4^2-2+6\cdot 4^n-18=3s+6\cdot 4^n-18\)

\(10\cdot 10^k+10\cdot 4^2-20=3s+6\cdot 4^n-18\)

\(10({\color{DarkRed}{10^k+4^n-2}})=3s+3(2\cdot 4^n-3)\)

Po przekształceniu podstawiamy wyrażenie z pkt. 2):

\(10\cdot 3w=3s+3(2\cdot 4^n-3)\)

Lewa i prawa strona wyrażenia niezależnie od \(n\) jest podzielna przez 3. Udowodniliśmy prawdziwość tezy.

Odpowiedź: Prawdziwa jest teza, że wyrażenie \(10^n+4^n-2\) jest podzielne przez \(3\).


Zadanie 1 

Zadanie 2 

Zadanie 3