Równania logarytmiczne – Zadanie 1 obliczenia

Rozwiąż równania z logarytmami:

a) \(\log_{3} x=2\)

b) \(\log_{5} x=3\)

c) \(\log_{2} (x+2)=3\)

d) \(\log_{2} (x^2+3x-8)=1\)

e) \(\log x=4 \)

Rozwiązując równania należy pamiętać o warunkach, dla logarytmów:

\( \log_{a}c=b \:\:\:\: \Leftrightarrow \:\:\:\: a^b=c\)

dla \(a>0\) i \(a\neq1\)
dla \(c>0\)

Rozwiązanie:

a)
\(\log_{3} x=2\)

\(x=3^2\)

\(x=9\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=9\).

b)
\(\log_{5} x=3\)

\(x=5^3\)

\(x=125\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=125\).

c)
\(\log_{2} (x+2)=3\)

\(x+2=2^3\)

\(x+2=8\)

\(x=6\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=6\).

d)
\(\log_{2} (x^2+3x-8)=1\)

\( x^2+3x-8=2^1\)

\( x^2+3x-8=2\)

\( x^2+3x-10=0\)

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

\(\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49\)

\(\sqrt{\Delta }=7\)

\(x_1=\dfrac{-3-7}{2}\)         \(x_2=\dfrac{-3+7}{2}\)

\(x_1=\dfrac{-10}{2}\)         \(x_2=\dfrac{4}{2}\)

\(x_1=-5\)            \(x_2=2\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=-5\) oraz \(x=2\).

e)
\(\log x=4 \)

\(x=10^4\)

\(x=10000\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=10000\).