Równania logarytmiczne – Zadanie 3 obliczenia

Rozwiąż równania z logarytmami:

a) \(\log_{2} x+\log_{4} x+\log_{16} x =7\)

b) \(\log_{4} x+\log_{16} x+\log_{64} x =7\dfrac{1}{3}\)

Rozwiązując zadanie korzystamy z wzoru:

\(\log_{b} c=\dfrac{\log_{a} c}{\log_{a} b} \)

Rozwiązanie
a)
\(\log_{2} x+\log_{4} x+\log_{16} x =7\)

\(\log_{2} x+\dfrac{\log_{2} x}{\log_{2} 4}+\dfrac{\log_{2} x}{\log_{2} 16} =7\)

\(\log_{2} x+\dfrac{\log_{2} x}{2}+\dfrac{\log_{2} x}{4} =7 \: / \: \cdot 4\)

\(4\cdot \log_{2} x+2\cdot \log_{2} x+\log_{2} x =28 \)

\(7\cdot \log_{2} x=28\)

\(\log_{2} x=4\)

\(x=2^4\)

\(x=16\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania z logarytmem jest \(x=16\).

b)
\(\log_{4} x+\log_{16} x+\log_{64} x =7\dfrac{1}{3}\)

\(\log_{4} x+\log_{16} x+\log_{64} x =7\dfrac{1}{3}\)

\(\log_{4} x+\dfrac{\log_{4} x}{\log_{4} 16}+\dfrac{\log_{4} x}{\log_{4} 64} =7\dfrac{1}{3}\)

\(\log_{4} x+\dfrac{\log_{4} x}{2}+\dfrac{\log_{4} x}{3} =\dfrac{22}{3} \: / \: \cdot 6\)

\(6\log_{4} x+3\log_{4} x+2\log_{4} x =44\)

\(11\log_{4} x=44\)

\(\log_{4} x=4\)

\(x=4^4\)

\(x=256\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania z logarytmem jest \(x=256\).