Rozwiąż równania z logarytmami:
a) \(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)
b) \(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)
c) \(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)
Równania w których mamy więcej niż jedne logarytm z \(x\) należy rozwiązywać, zaczynając od wyznaczenia dziedziny.
Rozwiązanie
a)
\(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)
Wyznaczamy dziedzinę \(x\):
\(3x-5>0\) i \(2x-21>0\)
\(3x>5\) i \(2x>21\)
\(x>\frac{5}{3}\) i \(x>\frac{21}{2}\)
\(x>1\frac{2}{3}\) i \(x>10\frac{1}{2}\)
więc, dziedziną naszego równania będzie:
\(x>10\frac{1}{2}\)
lub inaczej,
\(D=(10\frac{1}{2};+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązania równania.
\(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x-21)\)
\(\log_{5} 5^2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x-21)\)
\(\log_{5}(25\cdot (3x-5))=\log_{5} (2x-21)\)
\(25\cdot (3x-5)=2x-21\)
\(75x-125=2x-21\)
\(73x=-146\)
\(x=-2\)
Jednak \(x=-2\) nie należy do dziedziny. Oznacza to, że równanie nie posiada rozwiązania.
Odpowiedź: Równanie nie posiada rozwiązania.
b)
\(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji.
\(5x-10>0\) i \(3x+1>0\)
\(5x>10\) i \(3x>-1\)
\(x>2\) i \(x>-\frac{1}{3}\)
Dziedziną równania będzie
\(x\: \epsilon \: (2;+\infty)\)
Zaczynamy rozwiązywać równanie.
\(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1 \)
\(\log_{50}(5x-10)\cdot (3x+1)=\log_{50} 50 \)
\((5x-10)\cdot (3x+1)= 50\)
\(15x^2-25x-10-50=0\)
\(15x^2-25x-60=0 \: / :5\)
\(3x^2-5x-12=0\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
\(\Delta =25-4\cdot 3\cdot (-12)=25+144=169\)
\(\sqrt{\Delta} = 13\)
\(x_1=\dfrac{5-13}{2\cdot 3}\) \(x_2=\dfrac{5+13}{2\cdot 3}\)
\(x_1=\dfrac{-8}{6}\) \(x_2=\dfrac{18}{6}\)
\(x_1=-1\dfrac{1}{3}\) \(x_2=3\)
\(x_1\) odrzucamy ponieważ nie należy do dziedziny. Rozwiązaniem jest \(x=3\).
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=3\).
c)
\(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(2x+3>0\) i \(x+2>0\)
\(x>-\frac{3}{2}\) i \(x>-2\)
\(x>-1\frac{1}{2}\) i \(x>-2\)
Dziedziną jest :
\(x\: \epsilon \: (-1\frac{1}{2};+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązania równania z logarytmem.
\(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)\cdot (x+2)=\log_{\sqrt{2}} 1\)
\((2x+3)\cdot (x+2)= 1\)
\(2x^2+5x+6-1=0\)
\(2x^2+5x+5=0\)
W tym momencie równanie z logarytmem uprościliśmy do postaci równania kwadratowego. Przystępujemy do rozwiązania:
\(\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot 5=25-40=-15\)
Równanie nie posiada miejsc zerowych.
Odpowiedź: Równanie nie posiada rozwiązania.
a) \(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)
b) \(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)
c) \(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)
Równania w których mamy więcej niż jedne logarytm z \(x\) należy rozwiązywać, zaczynając od wyznaczenia dziedziny.
Rozwiązanie
a)
\(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)
Wyznaczamy dziedzinę \(x\):
\(3x-5>0\) i \(2x-21>0\)
\(3x>5\) i \(2x>21\)
\(x>\frac{5}{3}\) i \(x>\frac{21}{2}\)
\(x>1\frac{2}{3}\) i \(x>10\frac{1}{2}\)
więc, dziedziną naszego równania będzie:
\(x>10\frac{1}{2}\)
lub inaczej,
\(D=(10\frac{1}{2};+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązania równania.
\(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x-21)\)
\(\log_{5} 5^2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x-21)\)
\(\log_{5}(25\cdot (3x-5))=\log_{5} (2x-21)\)
\(25\cdot (3x-5)=2x-21\)
\(75x-125=2x-21\)
\(73x=-146\)
\(x=-2\)
Jednak \(x=-2\) nie należy do dziedziny. Oznacza to, że równanie nie posiada rozwiązania.
Odpowiedź: Równanie nie posiada rozwiązania.
b)
\(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji.
\(5x-10>0\) i \(3x+1>0\)
\(5x>10\) i \(3x>-1\)
\(x>2\) i \(x>-\frac{1}{3}\)
Dziedziną równania będzie
\(x\: \epsilon \: (2;+\infty)\)
Zaczynamy rozwiązywać równanie.
\(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1 \)
\(\log_{50}(5x-10)\cdot (3x+1)=\log_{50} 50 \)
\((5x-10)\cdot (3x+1)= 50\)
\(15x^2-25x-10-50=0\)
\(15x^2-25x-60=0 \: / :5\)
\(3x^2-5x-12=0\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
\(\Delta =25-4\cdot 3\cdot (-12)=25+144=169\)
\(\sqrt{\Delta} = 13\)
\(x_1=\dfrac{5-13}{2\cdot 3}\) \(x_2=\dfrac{5+13}{2\cdot 3}\)
\(x_1=\dfrac{-8}{6}\) \(x_2=\dfrac{18}{6}\)
\(x_1=-1\dfrac{1}{3}\) \(x_2=3\)
\(x_1\) odrzucamy ponieważ nie należy do dziedziny. Rozwiązaniem jest \(x=3\).
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=3\).
c)
\(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
\(2x+3>0\) i \(x+2>0\)
\(x>-\frac{3}{2}\) i \(x>-2\)
\(x>-1\frac{1}{2}\) i \(x>-2\)
Dziedziną jest :
\(x\: \epsilon \: (-1\frac{1}{2};+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązania równania z logarytmem.
\(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)\cdot (x+2)=\log_{\sqrt{2}} 1\)
\((2x+3)\cdot (x+2)= 1\)
\(2x^2+5x+6-1=0\)
\(2x^2+5x+5=0\)
W tym momencie równanie z logarytmem uprościliśmy do postaci równania kwadratowego. Przystępujemy do rozwiązania:
\(\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot 5=25-40=-15\)
Równanie nie posiada miejsc zerowych.
Odpowiedź: Równanie nie posiada rozwiązania.
Jak obliczyć równania logarytmiczne – zadanie 2 - wyniki