Funkcję kwadratową można zapisać na kilka sposobów, z czego każda postać może nam coś opowiedzieć o funkcji.
1) najbardziej znaną postacią funkcji kwadratowej jest postać ogólna:
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Funkcja w tej postaci jest przygotowana do przeprowadzania obliczeń, łatwo z niej obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\),
Ze wzoru funkcji w postaci ogólnej możemy ustalić w łatwy sposób:
- w którą stronę są skierowane ramiona paraboli – dla \(a>0\) w górę; dla \(a<0\) w dół
- punkt przecięcia z osią OY \((0,c)\)
Oczywiście możemy wyliczyć inne dane, jednak potrzeba już chwili by je obliczyć.
- współrzędne wierzchołka funkcji \(W=(p;q)\):
\(p=-\frac{b}{2a}\)
\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)
2) Postać kanoniczna jest najlepszą postacią, gdy szukamy wierzchołka funkcji:
\(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Z tej postaci szybko odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oczywiście, również łatwo ustalić kierunek ramion.
3) Postać iloczynowa umożliwia szybkie odczytanie miejsc zerowych:
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Jak łatwo zauważyć, miejsca zerowe to \(x_1\) oraz \(x_2\).
Kierunek, w którą stronę są skierowane ramiona paraboli – dla \(a>0\) w górę; dla \(a<0\) w dół.
Należy pamiętać, że jeżeli funkcja nie posiada miejsc zerowych, to nie przekształcimy jej do tej postaci.
Zamiana postaci funkcji – ogólna, kanoniczna, iloczynowa.
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Niezbędne wzory do przekształcenia:
Na postać iloczynową
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)
Pamiętaj, że jeżeli \(\Delta <0\) jest mniejsza od zera, to postać iloczynowa nie istnieje.
Na postać kanoniczną
\(p=-\frac{b}{2a}\)
\(q=-\frac{\Delta}{4a}\)
Na postać ogólną
Wzór skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Przykładowe zadania
Zad. 1) Mając funkcje z postaci kanonicznej, podaj współrzędne wierzchołka funkcji:
a) \(f(x)=2(x-4)^2+5\)
b) \(f(x)= (x+10)^2+1\)
c) \(f(x)= -3(x-7)^2\)
d) \(f(x)= 2(x+3)^2-3\)
e) \(f(x)= 2(x+1)^2-8\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 2) Mając funkcje w postaci iloczynowej podaj miejsca zerowe:
a) \(f(x)=3(x-5)(x+2)\)
b)\(f(x)=-2(x+3)(x+7)\)
c)\(f(x)=(x-1)(x+1)\)
d) \(f(x)=(x+4)(x-6)\)
e) \(f(x)=(x-2)(x-12)\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 3) Przekształć podaną funkcje na postać kanoniczną i iloczynową.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)
b) \(f(x)=5x^2-2=\)
c) \(f(x)=x^2-3x-7\)
d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)
e) \(f(x)=90+x^2-3x\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 4) Przekształć podaną funkcje na postać ogólną i iloczynową.
a) \(f(x)=(x+2)^2-7\)
b) \(f(x)=2(x-1)^2+1\)
c) \(f(x)=-4(x+5)^2-3\)
d) \(f(x)=(x+1)^2\)
e) \(f(x)=-(x-0)^2\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 5) Przekształć podaną funkcje na postać ogólną ikanoniczną.
a) \(f(x)=(x-2)(x+1)\)
b) \(f(x)=2(x+4)(x+2)\)
c) \(f(x)=(x-3)(x-1)\)
d) \(f(x)=-3(x-6)(x+0)\)
e) \(f(x)=-(x+1)(x+5)\) Zobacz rozwiązanie
1) najbardziej znaną postacią funkcji kwadratowej jest postać ogólna:
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Funkcja w tej postaci jest przygotowana do przeprowadzania obliczeń, łatwo z niej obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\),
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)
Ze wzoru funkcji w postaci ogólnej możemy ustalić w łatwy sposób:
- w którą stronę są skierowane ramiona paraboli – dla \(a>0\) w górę; dla \(a<0\) w dół
- punkt przecięcia z osią OY \((0,c)\)
Oczywiście możemy wyliczyć inne dane, jednak potrzeba już chwili by je obliczyć.
- współrzędne wierzchołka funkcji \(W=(p;q)\):
\(p=-\frac{b}{2a}\)
\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)
2) Postać kanoniczna jest najlepszą postacią, gdy szukamy wierzchołka funkcji:
\(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Z tej postaci szybko odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oczywiście, również łatwo ustalić kierunek ramion.
3) Postać iloczynowa umożliwia szybkie odczytanie miejsc zerowych:
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Jak łatwo zauważyć, miejsca zerowe to \(x_1\) oraz \(x_2\).
Kierunek, w którą stronę są skierowane ramiona paraboli – dla \(a>0\) w górę; dla \(a<0\) w dół.
Należy pamiętać, że jeżeli funkcja nie posiada miejsc zerowych, to nie przekształcimy jej do tej postaci.
Zamiana postaci funkcji – ogólna, kanoniczna, iloczynowa.
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Niezbędne wzory do przekształcenia:
Na postać iloczynową
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)
Pamiętaj, że jeżeli \(\Delta <0\) jest mniejsza od zera, to postać iloczynowa nie istnieje.
Na postać kanoniczną
\(p=-\frac{b}{2a}\)
\(q=-\frac{\Delta}{4a}\)
Na postać ogólną
Wzór skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Przykładowe zadania
Zad. 1) Mając funkcje z postaci kanonicznej, podaj współrzędne wierzchołka funkcji:
a) \(f(x)=2(x-4)^2+5\)
b) \(f(x)= (x+10)^2+1\)
c) \(f(x)= -3(x-7)^2\)
d) \(f(x)= 2(x+3)^2-3\)
e) \(f(x)= 2(x+1)^2-8\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 2) Mając funkcje w postaci iloczynowej podaj miejsca zerowe:
a) \(f(x)=3(x-5)(x+2)\)
b)\(f(x)=-2(x+3)(x+7)\)
c)\(f(x)=(x-1)(x+1)\)
d) \(f(x)=(x+4)(x-6)\)
e) \(f(x)=(x-2)(x-12)\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 3) Przekształć podaną funkcje na postać kanoniczną i iloczynową.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)
b) \(f(x)=5x^2-2=\)
c) \(f(x)=x^2-3x-7\)
d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)
e) \(f(x)=90+x^2-3x\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 4) Przekształć podaną funkcje na postać ogólną i iloczynową.
a) \(f(x)=(x+2)^2-7\)
b) \(f(x)=2(x-1)^2+1\)
c) \(f(x)=-4(x+5)^2-3\)
d) \(f(x)=(x+1)^2\)
e) \(f(x)=-(x-0)^2\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 5) Przekształć podaną funkcje na postać ogólną ikanoniczną.
a) \(f(x)=(x-2)(x+1)\)
b) \(f(x)=2(x+4)(x+2)\)
c) \(f(x)=(x-3)(x-1)\)
d) \(f(x)=-3(x-6)(x+0)\)
e) \(f(x)=-(x+1)(x+5)\) Zobacz rozwiązanie
Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej Wasze opinie