Podaj współrzędne wierzchołka paraboli:
a) \( f(x)=x^2+3x-2\)
b) \( f(x)=x^2+4x+4\)
c) \( f(x)=2x^2-12x-6\)
d) \( f(x)=-x^2+x-8\)
e) \(f(x)=x^2+8x-15\)
Pamiętaj
Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(p;q)\) gdzie:
\(p=-\frac{b}{2a}\)
\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)
Rozwiązanie
a)
\( f(x)=x^2+3x-2\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=1;b=3;c=-2\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-2)=9+8=17\)
\(p=-\frac{3}{2\cdot 1}=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}\)
\(q=-\frac{17}{4\cdot 1}=-\frac{17}{4}=-4\frac{1}{4}\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((-1\frac{1}{2};-4\frac{1}{4})\).
b)
\( f(x)=x^2+4x+4\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=1;b=4;c=4\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0\)
\(p=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2\)
\(q=-\frac{0}{4\cdot 1}=-\frac{0}{4}=0\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((-2;0)\).
c)
\( f(x)=2x^2-12x-6\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=2;b=-12;c=-6\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=(-12)^2-4\cdot 2\cdot (-6)=144+48=192\)
\(p=-\frac{-12}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\)
\(q=-\frac{192}{4\cdot 2}=-\frac{192}{8}=-24\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((3;-24)\).
d)
\( f(x)=-x^2+x-8\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=-1;b=1;c=-8\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=1^2-4\cdot (-1)\cdot (-8)=1-32=-31\)
\(p=-\frac{1}{2\cdot (-1)}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(q=-\frac{-31}{4\cdot (-1)}=\frac{31}{4}=7\frac{3}{4}\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((\frac{1}{2};7\frac{3}{4})\).
e)
\(f(x)=x^2+8x-15\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=1;b=8;c=-15\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=8^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64+60=124\)
\(p=-\frac{8}{2\cdot 1}=-\frac{8}{2}=-4\)
\(q=-\frac{124}{4\cdot 1}=-\frac{124}{4}=-31\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((-4;-31)\).
a) \( f(x)=x^2+3x-2\)
b) \( f(x)=x^2+4x+4\)
c) \( f(x)=2x^2-12x-6\)
d) \( f(x)=-x^2+x-8\)
e) \(f(x)=x^2+8x-15\)
Pamiętaj
Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(p;q)\) gdzie:
\(p=-\frac{b}{2a}\)
\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) gdzie \(\Delta=b^2-4ac\)
Rozwiązanie
a)
\( f(x)=x^2+3x-2\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=1;b=3;c=-2\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-2)=9+8=17\)
\(p=-\frac{3}{2\cdot 1}=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}\)
\(q=-\frac{17}{4\cdot 1}=-\frac{17}{4}=-4\frac{1}{4}\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((-1\frac{1}{2};-4\frac{1}{4})\).
b)
\( f(x)=x^2+4x+4\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=1;b=4;c=4\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0\)
\(p=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2\)
\(q=-\frac{0}{4\cdot 1}=-\frac{0}{4}=0\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((-2;0)\).
c)
\( f(x)=2x^2-12x-6\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=2;b=-12;c=-6\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=(-12)^2-4\cdot 2\cdot (-6)=144+48=192\)
\(p=-\frac{-12}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\)
\(q=-\frac{192}{4\cdot 2}=-\frac{192}{8}=-24\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((3;-24)\).
d)
\( f(x)=-x^2+x-8\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=-1;b=1;c=-8\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=1^2-4\cdot (-1)\cdot (-8)=1-32=-31\)
\(p=-\frac{1}{2\cdot (-1)}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(q=-\frac{-31}{4\cdot (-1)}=\frac{31}{4}=7\frac{3}{4}\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((\frac{1}{2};7\frac{3}{4})\).
e)
\(f(x)=x^2+8x-15\)
Z wzoru funkcji kwadratowej odczytujemy \(a=1;b=8;c=-15\). Następnie obliczamy współrzędne \(\Delta\) oraz \(p\) i \(q\).
\(\Delta=8^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64+60=124\)
\(p=-\frac{8}{2\cdot 1}=-\frac{8}{2}=-4\)
\(q=-\frac{124}{4\cdot 1}=-\frac{124}{4}=-31\)
Odpowiedź: Szukany wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne \((-4;-31)\).
Jak obliczyć wykres funkcji kwadratowej – zadanie 2 - wyniki