Całkowanie funkcji wymiernych

Całki z funkcji wymiernych możemy tak naprawdę liczyć na wiele różnych sposobów. Wybór odpowiedniej metody zależy od tego, jaką postać przyjmuje badane przez nas wyrażenie wymierne. Dla przypomnienia, funkcją wymierną nazywamy funkcję będącą ilorazem dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej ma zatem postać:

\({\int {W_1 (x) \over W_2(x)} dx }\)

czyli inaczej: \({\int {{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... +a_1 x+a_0} \over {b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} +... + b_1 x + b_0}} dx}\)

Jak się zabrać do policzenia takiej całki?

  • Przede wszystkim, musimy sprawdzić, czy \({ n \ge m}\), czyli inaczej mówiąc, badamy, czy stopień wielomianu w liczniku jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku. Jeżeli tak jest, wówczas możemy podzielić licznik przez mianownik a następnie przedstawić funkcję podcałkową jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, której stopień licznika też jest mniejszy od stopnia mianownika, czyli \({n < m}\).
  • Jeżeli wynika z tego, że \(n <m\), to musimy sprawdzić, czy licznik jest pochodną mianownika. Jeśli jest, to: \({ \int {g'(x) \over g(x)} dx = ln |g(x)| + C}\)
  • Jeżeli wynika z tego, że \(n<m\) oraz licznik nie jest pochodną mianownika, musimy rozłożyć funkcję podcałkową na ułamki proste.

Spójrzmy na przykłady:

  • Jeżeli nasza podcałkowa funkcja wymierna przyjmuje postać \({1 \over (x-a)(x-b)}\), musimy ją zamienić na sumę ułamków prostych, tj. \({1 \over {(x-a)(x-b)}} = {{A \over {(x-a)}} + {B \over {(x-b)}}}\)

\({\int {{x^3+x^2+1} \over {x^3+x^2}} dx } = {\int (1+{1 \over {x^3+x^2}})dx }= {{\int dx} + {\int {dx \over {x^2(x+1)}}}}\)

Funkcję podcałkową teraz rozkładamy na ułamki proste: \({1 \over {x^2(x+1)}} = {A \over x} + {B \over x^2} + {C \over {x+1}} {| \cdot x^2 (x+1)}\)

Otrzymujemy wówczas: \({1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2}\)

\(0x^2+0x+1=(A+C)x^2+(A+B)x+B\)

Porównajmy współczynniki przy odpowiednich potęgach: \(A+C=0\)\(A+B =0\)\(B=1\). Ostatecznie: \(A=-1, B=1, C=1.\)

Zatem: \({\int {{dx} \over {x^2(x+1)}}} = {\int - {1 \over x} dx + \int {1 \over x^2} dx + \int {1 \over {x+1} }dx} = -ln|x| - {1 \over x} +ln |x+1| +C = ln |{x+1 \over x}| - {1 \over x} +C\)

  • Jeżeli mamy do scałkowania wyrażenie typu \({1 \over (x-a)^2+b^2}\), wówczas powinniśmy skorzystać ze wzoru: \({\int {1 \over {(x-a)^2+b^2} }dx = {1 \over b} arctg({{x-a} \over b})+ C}\)

\({\int {{2x+2} \over {x^2-x+1}} dx} = {\int ({{{2x-1} \over {x^2-x+1}} + {3 \over {x^2-x+1}}}) dx} = {ln|x^2-x+1|+C+3 \int {{1 \over {x^2-x+1}}} dx} = {ln|x^2-x+1| +C +3 \int {{1 \over {{(x-{1\over 2})^2}+({{\sqrt 3} \over 2})^2}} dx}} = {ln|x^2-x+1|}+3 \cdot {1 \over {{\sqrt 3} \over 2}} arctg ({{x-{1 \over 2} \over {{\sqrt3} \over 2}})+C }\)

Ostatecznie: \({\int {{2x+2} \over {x^2-x+1}} dx} = {ln|x^2-x+1| +C + 2 \sqrt 3 arctg({{2x-1} \over {\sqrt3}})}\)

  • Jeżeli w liczniku mamy wyrażenie będące pochodną mianownika, całka tego ułamka będzie logarytmem naturalnym.

\({\int {{x+6} \over {x^2+12x}} dx} = {{1 \over 2} \int {{2x+6} \over {x^2 +12x}} dx} = {{1 \over 2} \int {{2x+12} \over {x^2+12x}} dx} = {{1 \over 2} ln|x^2+12x| +C}\)

Możemy to również zrobić przez podstawienie:

 \({\int {{3x^2+3} \over {x^3+3x+5}} dx} \)

Zastosujmy tutaj podstawienie: \(t=x^3+3x+5\)oraz \(dt = (3x^3+3) dx\).

Mamy zatem, że: \({\int {1 \over t} dt } = {ln|t|+C} = ln|x^3+3x+5| +C\)