Ciąg zdefiniowany rekurencyjnie - opis

Bardzo często spotyka się ciąg zdefiniowany rekurencyjnie. Ciąg przedstawiony w sposób rekurencyjny określa wyraz następny za pomocą poprzedniego. Oznacza to, że do obliczenia np. wyrazu czwartego trzeba mieć wyraz trzeci, do obliczenia wyrazu dwunastego najpierw musimy znać wartość wyrazu jedenastego.

Do zdefiniowania ciągu w tej postaci niezbędne jest podanie wyrazu lub kilku wyrazów początkowych oraz zależności między kolejnymi i poprzednimi wyrazami.

Kilka ciągów przedstawionych rekurencyjnie:

\(\left\{\begin{matrix}
\begin{matrix}
a_1=1 & & &
\end{matrix} \\
a_{n+2}=a_n +3
\end{matrix}\right.\)
 
\( \left\{\begin{matrix}
\begin{matrix}
a_1=3 & & & & &
\end{matrix}\\
a_{n+1}= n\cdot a_n -1
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
\begin{matrix}
a_1=1 & & & & & &
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
a_2=1 & & & & & &
\end{matrix}\\
a_{n+1}=a_n +a_{n+1}
\end{matrix}\right.\)

Istnieją wzory rekurencyjne, które nie są w pełni zdefiniowane. Pomimo, że są rekurencyjne to nie dają możliwości obliczenia wszystkich wyrazów tego ciągu, np.:

\(\left\{\begin{matrix}

a_1=1\\

a_{n+2}=a_n+2

\end{matrix}\right.\)

W tym przypadku możemy obliczyć tylko co drugi wyraz ciągu.

W przypadku ciągów rekurencyjnych, czasem pojawia się potrzeba zapisania takiego ciągu w postaci ogólnej. Niestety często nie jest to matematycznie wykonalne, a przypadki, które można zapisać w takiej postaci najczęściej rozwiązuje się za pomocą metody przewidywania lub po prostu zgadując rozwiązanie.

Przykładowe zadania

Zad. 1) Oblicz pierwsze cztery wyrazy podanych ciągów:

\( a)\:\:\:

 \left\{\begin{matrix}

\begin{matrix}

a_1=1 & & &

\end{matrix} \\

a_{n+1}=a_n +3

\end{matrix}\right. \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:

 

b) \:\:\:

 \left\{\begin{matrix}

\begin{matrix}

a_1=3 & & & & &

\end{matrix}\\

a_{n+1}= n\cdot a_n -1

\end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie


Zad. 2) Wyznacz dziesięć kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego \(\left \{ \begin{matrix} \begin{matrix}
a_1=1 & & & & & &
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
a_2=1 & & & & & &
\end{matrix}\\
a_{n+2}=a_n +a_{n+1}
\end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie


Zad. 3) Wyznacz piąty wyraz ciągu \(\left\{\begin{matrix}

\begin{matrix}

a_1=-3 & & &

\end{matrix} \\

a_{n+1}=n\cdot a_n +3

\end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie

 

Zad. 4) Uzasadnij, że ciąg \(\left\{\begin{matrix}

\begin{matrix}

a_1=3 & & &

\end{matrix} \\

a_{n+1}=2\cdot a_n

\end{matrix}\right.\) jest ciągiem geometrycznym.      Zobacz rozwiązanie