Mając dane dwa wyrazy ciągu geometrycznego, wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu:
a) \(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\) b) \(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)
Na rozwiązanie tego typu zadania są, co najmniej, trzy główne sposoby:
Pierwszy: oba wyrażenia podstawić do wzoru na n-ty wyraz i rozwiązać układ równań:
\( \left\{\begin{matrix}
24=a_1\cdot q^{3-1}\\
48=a_1\cdot q^{4-1}
\end{matrix}\right.\)
Drugim sposobem rozwiążemy podpunkt a); trzecim sposobem rozwiążemy podpunkt b).
a)
\(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\)
zauważamy, że \(a_3 \) oraz \(a_4\) są kolejnymi wyrazami ciągu, możemy więc łatwo wyliczyć iloraz ciągu \(q\):
\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{48}{24}=2\)
wiadomo więc, że każdy kolejny wyraz jest większy o \(2\) od poprzedniego, analogicznie każdy następny wyraz ciągu geometrycznego jest mniejszy o \(2\) od następnego. Wychodząc z tego założenia możemy podzielić wyraz trzeci przez \(2\) otrzymując wyraz drugi:
\(a_2=\dfrac{a_3}{q}=\dfrac{24}{2}=12\)
i analogicznie obliczymy wyraz \(a_1\)
\(a_1=\dfrac{12}{2}=6\)
mając te dane, podstawiamy do wzoru na n-ty wyraz:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{n-1}=6\cdot 2^n\cdot 2^{-1}=6\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2^n=3\cdot 2^n\)
Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać \(a_n=3\cdot 2^n\).
b)
\(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)
jak w podpunkcie a) obliczamy wartość ilorazu ciągu \(q\):
\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{14256}{2376}=6\)
następnie wstawiamy \(a_3=2376\) oraz \(q=6\) do wzoru na wyraz ogólny:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)
\(a_3=a_1\cdot q^{3-1}\)
\(2376=a_1\cdot 6^2\)
\(2376=a_1\cdot 36\)
\(a_1=66\)
wstawiamy wyliczone \(a_1 \: ; \: q\) do wzoru na n-ty wyraz ciągu:
\(a_n=66\cdot 6^{n-1}=66\cdot 6^n\cdot 6^{-1}=66\cdot \dfrac{1}{6}\cdot 6^n=11\cdot 6^n\)
Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać \(a_n=11\cdot 6^n\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 7
Zadanie 8
a) \(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\) b) \(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)
Na rozwiązanie tego typu zadania są, co najmniej, trzy główne sposoby:
Pierwszy: oba wyrażenia podstawić do wzoru na n-ty wyraz i rozwiązać układ równań:
\( \left\{\begin{matrix}
24=a_1\cdot q^{3-1}\\
48=a_1\cdot q^{4-1}
\end{matrix}\right.\)
Drugim sposobem rozwiążemy podpunkt a); trzecim sposobem rozwiążemy podpunkt b).
a)
\(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\)
zauważamy, że \(a_3 \) oraz \(a_4\) są kolejnymi wyrazami ciągu, możemy więc łatwo wyliczyć iloraz ciągu \(q\):
\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{48}{24}=2\)
wiadomo więc, że każdy kolejny wyraz jest większy o \(2\) od poprzedniego, analogicznie każdy następny wyraz ciągu geometrycznego jest mniejszy o \(2\) od następnego. Wychodząc z tego założenia możemy podzielić wyraz trzeci przez \(2\) otrzymując wyraz drugi:
\(a_2=\dfrac{a_3}{q}=\dfrac{24}{2}=12\)
i analogicznie obliczymy wyraz \(a_1\)
\(a_1=\dfrac{12}{2}=6\)
mając te dane, podstawiamy do wzoru na n-ty wyraz:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{n-1}=6\cdot 2^n\cdot 2^{-1}=6\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2^n=3\cdot 2^n\)
Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać \(a_n=3\cdot 2^n\).
b)
\(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)
jak w podpunkcie a) obliczamy wartość ilorazu ciągu \(q\):
\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{14256}{2376}=6\)
następnie wstawiamy \(a_3=2376\) oraz \(q=6\) do wzoru na wyraz ogólny:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)
\(a_3=a_1\cdot q^{3-1}\)
\(2376=a_1\cdot 6^2\)
\(2376=a_1\cdot 36\)
\(a_1=66\)
wstawiamy wyliczone \(a_1 \: ; \: q\) do wzoru na n-ty wyraz ciągu:
\(a_n=66\cdot 6^{n-1}=66\cdot 6^n\cdot 6^{-1}=66\cdot \dfrac{1}{6}\cdot 6^n=11\cdot 6^n\)
Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać \(a_n=11\cdot 6^n\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 7
Zadanie 8
Jak obliczyć ciąg geometryczny – zadanie 6 - wyniki