Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(6x^2+11x-35=0\)
b) \(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)
c) \(3x^2-10x+5=0\)
d) \(x^2+4x+5=0\)
Aby rozwiązać równanie kwadratowe, najpierw obliczamy deltę \(\Delta\), następnie \(x_1\) oraz \(x_2\), jeśli istnieją.
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Rozwiązanie
a)
\(6x^2+11x-35=0\)
Z równania odczytujemy \(a=6;b=11;c=-35\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=11^2-4\cdot 6\cdot (-35)=121+840=961\)
Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{961}=31\)
\(x_1=\frac{-11-31}{2\cdot 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-11+31}{2\cdot 6}\)
\(x_1=\frac{-42}{12} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{20}{12}\)
\(x_1=-3\frac{6}{12} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{8}{12}\)
\(x_1=-3\frac{1}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}\)
Odpowiedź: Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-3\frac{1}{2}\) oraz \(x=1\frac{2}{3}\).
b)
\(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)
Z równania odczytujemy \(a=3;b=6;c=-18\frac{1}{3}\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=6^2-4\cdot 3\cdot (-18\frac{1}{3})=36+220=256\)
Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{256}=16\)
\(x_1=\frac{-22}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{6}\)
\(x_1=-3\frac{4}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{4}{6}\)
\(x_1=-3\frac{2}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}\)
Odpowiedź: Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-3\frac{2}{3}\) oraz \(x=1\frac{2}{3}\).
c)
\(3x^2-10x+5=0\)
Z równania odczytujemy \(a=3;b=-10;c=5\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 5=100-60=40\)
Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\)
\(x_1=\frac{-(-10)-2\sqrt{10}}{2\cdot 3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-10)+2\sqrt{10}}{2\cdot 3}\)
\(x_1=\frac{10-2\sqrt{10}}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10+2\sqrt{10}}{6}\)
\(x_1=\frac{10}{6}-\frac{2\sqrt{10}}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{6}+\frac{2\sqrt{10}}{6}\)
\(x_1=1\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są : \(x_1=1\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}\)
d)
\(x^2+4x+5=0\)
Z równania odczytujemy \(a=1;b=4;c=5\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4\)
Wartość delta jest ujemna, oznacza to, że równanie nie posiada rozwiązania.
Odpowiedź: Podane równanie nie posiada rozwiązania.
a) \(6x^2+11x-35=0\)
b) \(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)
c) \(3x^2-10x+5=0\)
d) \(x^2+4x+5=0\)
Aby rozwiązać równanie kwadratowe, najpierw obliczamy deltę \(\Delta\), następnie \(x_1\) oraz \(x_2\), jeśli istnieją.
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Rozwiązanie
a)
\(6x^2+11x-35=0\)
Z równania odczytujemy \(a=6;b=11;c=-35\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=11^2-4\cdot 6\cdot (-35)=121+840=961\)
Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{961}=31\)
\(x_1=\frac{-11-31}{2\cdot 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-11+31}{2\cdot 6}\)
\(x_1=\frac{-42}{12} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{20}{12}\)
\(x_1=-3\frac{6}{12} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{8}{12}\)
\(x_1=-3\frac{1}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}\)
Odpowiedź: Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-3\frac{1}{2}\) oraz \(x=1\frac{2}{3}\).
b)
\(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)
Z równania odczytujemy \(a=3;b=6;c=-18\frac{1}{3}\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=6^2-4\cdot 3\cdot (-18\frac{1}{3})=36+220=256\)
Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{256}=16\)
\(x_1=\frac{-22}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{6}\)
\(x_1=-3\frac{4}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{4}{6}\)
\(x_1=-3\frac{2}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}\)
Odpowiedź: Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-3\frac{2}{3}\) oraz \(x=1\frac{2}{3}\).
c)
\(3x^2-10x+5=0\)
Z równania odczytujemy \(a=3;b=-10;c=5\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 5=100-60=40\)
Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\)
\(x_1=\frac{-(-10)-2\sqrt{10}}{2\cdot 3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-10)+2\sqrt{10}}{2\cdot 3}\)
\(x_1=\frac{10-2\sqrt{10}}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10+2\sqrt{10}}{6}\)
\(x_1=\frac{10}{6}-\frac{2\sqrt{10}}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{6}+\frac{2\sqrt{10}}{6}\)
\(x_1=1\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są : \(x_1=1\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}\)
d)
\(x^2+4x+5=0\)
Z równania odczytujemy \(a=1;b=4;c=5\) i obliczamy deltę:
\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4\)
Wartość delta jest ujemna, oznacza to, że równanie nie posiada rozwiązania.
Odpowiedź: Podane równanie nie posiada rozwiązania.
Jak obliczyć rozwiązywanie równań kwadratowych – zadanie 2 - wyniki