Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=2x+\dfrac{5}{x}\).
Obliczanie asymptot poziomych i ukośnych zaczynamy od wyznaczenia dziedziny podanej funkcji. Następnie szukamy asymptot poziomych, jeśli ich nie znajdziemy, to szukamy asymptot ukośnych.
Obliczamy dziedzinę funkcji, w tym przypadku, mamy ułamek, którego mianownik nie może być równy zero, więc:
\(x\neq 0\)
więc dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste poza \(0\):
\(D_f=(-\infty;0) \cup (0;+\infty)\)
Przystępujemy do wyznaczania asymptoty poziomej zgodnie z następującym wzorem:
\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)
\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}2x+\dfrac{5}{x}=\pm \infty\)
Jeśli za \(x\) wstawimy najpierw minus nieskończoność to otrzymamy również minus nieskończoność, analogicznie jest z plus nieskończonością. Oznacza to, że podana funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy wiec, czy podana funkcja posiada asymptoty ukośne, zgodnie z wzorami:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)-ax=b\)
\(y=ax+b\)
podstawiamy do wzoru:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{ 2x+\dfrac{5}{x} }{x}= \lim\limits_{x \to \pm \infty}2+\dfrac{5}{x^2}=2\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}2x+\dfrac{5}{x} -2x= \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{5}{x}=0\)
Wyliczyliśmy więc \(a=2\) oraz \(b=0\), oznacza to, że funkcja posiada asymptotę ukośną.
Odpowiedź: Funkcja \(f(x)= 2x+\dfrac{5}{x}\) posiada asymptotę ukośną obustronną o równaniu \(y=2x\).
Obliczanie asymptot poziomych i ukośnych zaczynamy od wyznaczenia dziedziny podanej funkcji. Następnie szukamy asymptot poziomych, jeśli ich nie znajdziemy, to szukamy asymptot ukośnych.
Obliczamy dziedzinę funkcji, w tym przypadku, mamy ułamek, którego mianownik nie może być równy zero, więc:
\(x\neq 0\)
więc dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste poza \(0\):
\(D_f=(-\infty;0) \cup (0;+\infty)\)
Przystępujemy do wyznaczania asymptoty poziomej zgodnie z następującym wzorem:
\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)
\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}2x+\dfrac{5}{x}=\pm \infty\)
Jeśli za \(x\) wstawimy najpierw minus nieskończoność to otrzymamy również minus nieskończoność, analogicznie jest z plus nieskończonością. Oznacza to, że podana funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy wiec, czy podana funkcja posiada asymptoty ukośne, zgodnie z wzorami:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)-ax=b\)
\(y=ax+b\)
podstawiamy do wzoru:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{ 2x+\dfrac{5}{x} }{x}= \lim\limits_{x \to \pm \infty}2+\dfrac{5}{x^2}=2\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}2x+\dfrac{5}{x} -2x= \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{5}{x}=0\)
Wyliczyliśmy więc \(a=2\) oraz \(b=0\), oznacza to, że funkcja posiada asymptotę ukośną.
Odpowiedź: Funkcja \(f(x)= 2x+\dfrac{5}{x}\) posiada asymptotę ukośną obustronną o równaniu \(y=2x\).
Jak obliczyć asymptota pozioma i ukośna – zadanie 3 - wyniki