Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}\).
Dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem liczby \(-5\):
\(D_f=(-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)\)
Przystępujemy do szukania asymptoty poziomej podstawiając do wzoru:
\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}_{/ \: : x}=\)
\(=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x+2-\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{5}{x}}=\pm \infty\)
oznacza to, że funkcja nie posiada asymptoty poziomej, przechodzimy do sprawdzenia, czy istnieje asymptota ukośna zgodnie z wzorami:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)-ax=b\)
\(y=ax+b\)
podstawiamy do wzoru i obliczamy:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}}{x}= \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{x^2+2x-7}{x^2+5x}_{/ \: : x^2}= \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}-\frac{7}{x^2}}{1+\frac{5}{x}}=1\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}-1x=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}-\dfrac{x^2+5x}{x+5}=\)
\(=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7-x^2-5x}{x+5}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-3x-7}{x+5}_{/ \: :x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-3-\frac{7}{x}}{1+\frac{5}{x}}=-3\)
Obliczyliśmy \(a=1\) oraz \(b=-3\), oznacza to, że funkcja posiada asymptoty ukośne.
Odpowiedź: Podana funkcja posiada asymptotę ukośną obustronna o równaniu \(y=x-3\).
Dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem liczby \(-5\):
\(D_f=(-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)\)
Przystępujemy do szukania asymptoty poziomej podstawiając do wzoru:
\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}_{/ \: : x}=\)
\(=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x+2-\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{5}{x}}=\pm \infty\)
oznacza to, że funkcja nie posiada asymptoty poziomej, przechodzimy do sprawdzenia, czy istnieje asymptota ukośna zgodnie z wzorami:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)-ax=b\)
\(y=ax+b\)
podstawiamy do wzoru i obliczamy:
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}}{x}= \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{x^2+2x-7}{x^2+5x}_{/ \: : x^2}= \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}-\frac{7}{x^2}}{1+\frac{5}{x}}=1\)
\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}-1x=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}-\dfrac{x^2+5x}{x+5}=\)
\(=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7-x^2-5x}{x+5}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-3x-7}{x+5}_{/ \: :x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-3-\frac{7}{x}}{1+\frac{5}{x}}=-3\)
Obliczyliśmy \(a=1\) oraz \(b=-3\), oznacza to, że funkcja posiada asymptoty ukośne.
Odpowiedź: Podana funkcja posiada asymptotę ukośną obustronna o równaniu \(y=x-3\).
Jak obliczyć asymptota pozioma i ukośna – zadanie 4 - wyniki