Wyznacz wartość parametru m, dla którego równanie \(x^2+2mx+m^2-1=0\) posiada sumę różnych pierwiastków równą 6.
Zapamiętaj
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Rozwiązanie
Podane równanie \(x^2+2mx+m^2-1=0\)jest równaniem kwadratowym. Musi ono posiadać różne rozwiązania, czyli \(\Delta>\). Jednocześnie z treści zadania wiemy, że suma różnych pierwiastków musi być równa 6, czyli \(x_1+x_2=6\).
Zacznijmy od \(\Delta>0\)
\(\Delta>0\)
\(b^2-4ac>0\)
\((2m)^2-4\cdot 1\cdot (m^2-1)>0\)
\(4m^2-4m^2+4>0\)
\(4>0\)
Otrzymaliśmy wyrażenie zawsze prawdziwe, oznacza to, że dla dowolnego \(m\) równanie posiada dwa pierwiastki różne.
Wyznaczmy \(m\) z wyrażenia \(x_1+x_2=6\), pamiętając o wzorach Viete’a.
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(-\frac{b}{a}=6\)
\(-\frac{2m}{1}=6\)
\(-2m=6 \:\: / \: :(-2)\)
\(m=-3\)
Odpowiedź: Szukanym parametrem\(m=-3\) dla którego równanie posiada sumę rozwiązań równą 6.
Zapamiętaj
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Rozwiązanie
Podane równanie \(x^2+2mx+m^2-1=0\)jest równaniem kwadratowym. Musi ono posiadać różne rozwiązania, czyli \(\Delta>\). Jednocześnie z treści zadania wiemy, że suma różnych pierwiastków musi być równa 6, czyli \(x_1+x_2=6\).
Zacznijmy od \(\Delta>0\)
\(\Delta>0\)
\(b^2-4ac>0\)
\((2m)^2-4\cdot 1\cdot (m^2-1)>0\)
\(4m^2-4m^2+4>0\)
\(4>0\)
Otrzymaliśmy wyrażenie zawsze prawdziwe, oznacza to, że dla dowolnego \(m\) równanie posiada dwa pierwiastki różne.
Wyznaczmy \(m\) z wyrażenia \(x_1+x_2=6\), pamiętając o wzorach Viete’a.
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(-\frac{b}{a}=6\)
\(-\frac{2m}{1}=6\)
\(-2m=6 \:\: / \: :(-2)\)
\(m=-3\)
Odpowiedź: Szukanym parametrem\(m=-3\) dla którego równanie posiada sumę rozwiązań równą 6.
Jak obliczyć wzory viete’a – zadanie 1 - wyniki