Kalkulator silnia

Silnia to bardzo często stosowany w matematyce sposób zapisywania iloczynów kolejnych liczb, wykorzystywany na przykład w rachunku prawdopodobieństwa, rachunkach

Sposób działania kalkulatora silni

Silnia liczby naturalnej n jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Silnię liczby naturalnej n oznacza się za pomocą symbolu n!, tj. n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n. Symbol silni pozwala zapisywać długie iloczyny liczb. Zapisanie liczby w ten sposób jest korzystne również ze względu na to, że daje nam informację, z jakich czynników składa się dana liczba. Znajomość takiego rozkładu jest szczególnie przydatna przy skracaniu ułamków, gdy w liczniku oraz mianowniku ułamka występują silnie.
Do obliczania w przybliżeniu wartości silni stosuje się wzór Stirlinga, tj.
n!≈(ne)n2πn−−−√n!≈(ne)n2πn→ wzór ten dla bardzo dużych liczb n daje dobre przybliżenie.

Do czego stosuje się silnię?

Pojęcia silnia po raz pierwszy użył w 1808 roku francuski matematyk Christian Kramp, profesor uniwersytecki w Strasbourgu, a wcześniej w Kolonii. Silnia, którą można obliczać metodą iteracyjną lub rekurencyjną, ułatwia zwięzłe zapisywanie skomplikowanych wzorów matematycznych i zależności z różnych działów tej nauki. Dotyczy to na przykład analizy matematycznej i wzoru Taylora, geometrii n-wymiarowej, ekonometrii czy kombinatoryki. Dzięki niej można szybciej i czytelniej wyliczać różne permutacje, kombinacje i aranżacje. W silni wszystkie obiekty są używane, ale żaden nie może być użyty więcej niż raz. Oprócz zwykłej silni stosowane są też silnie podwójne, oznaczane n!! (jest to iloczyn liczb naturalnym z krokiem 2 do n), a także silnie wielokrotne: należy do nich i silnia podwójna, ale i potrójna (n!!!) oraz większe, zapisywane wówczas n!(k).

Paradoks 0!

Wiele dyskusji budzi fakt, że 0! (zero silnia) to 1, skoro 1! (jeden silnia) to również jeden. To swoisty paradoks. Interpretacje n! to liczba permutacji – liczby różnych uporządkowań – zbioru n-elementowego. Bez powtórzeń n-elementowa wariacja jest permutacją takiego zbioru: 0! pomnożone przez n! = n!, a więc 0! = 1. Tak naprawdę owo działanie ma sens tylko wówczas, gdy przyjmiemy, że stanowi ono regułę, zapewnia dalszą spójność podstawowym wzorom związanym z silnią. Tym samym uznanie, że 0! to jeden jest zwyczajnie w teorii i praktyce przydatne w różnych kontekstach matematycznych (mimo że nie ma liczby 0 i mniejszych od niego dodatnich, które można mnożyć).