Oblicz odległość dwóch prostych równoległych od siebie:
a) \(x+3y+6=0\) \(2x+6y+2=0\)
b) \(3x+2y+6=0\) \(3x+2y-1=0\)
c) \(-5x+10y=0\) \(x-2y+10=0\)
d) \(x+y+6=0\)\(-x-y+7=0\)
Aby rozwiązać zadanie, trzeba wiedzieć, że proste są do siebie równoległe. Wynika to z warunku równoległości prostych (muszą mieć taki sam współczynnik kierunkowy \(a\) ). Następnie znajdujemy dowolny punkt na jednej z prostych i obliczamy jego odległość od prostej korzystając w wzoru:
\(d=\dfrac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Rozwiązanie
a)
\(x+3y+6=0\) \(2x+6y+2=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=3\):
\(x+3y+6=0 \Rightarrow 3+3y+6=0\)
\(3y=-3-6\)
\(3y=-9\)
\(y=-3\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((3;-3)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=3 \: ; y_0=-3 \: ; A=2 \: ; B=6 \: ; C=2 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | 2\cdot 3+6\cdot (-3)+2 \right |}{\sqrt{2^2+6^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | 6-18+2 \right |}{\sqrt{4+36}} \)
\(d=\dfrac{\left | -10 \right |}{\sqrt{40}} \)
\(d=\dfrac{ 10 }{\sqrt{40}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{40}} \)
\(d=\dfrac{ 10\sqrt{40} }{40} \)
\(d=\dfrac{ \sqrt{40} }{4} \)
\(d=\dfrac{ 2\sqrt{10} }{4} \)
\(d=\dfrac{ \sqrt{10} }{2} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d=\dfrac{ \sqrt{10} }{2} \).
b)
\(3x+2y+6=0\) \(3x+2y-1=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=2\):
\(3x+2y+6=0 \Rightarrow 3\cdot 2+2y+6=0\)
\(6+2y+6=0\)
\(2y=-6-6\)
\(2y=-12\)
\(y=-6\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((2;-6)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=2 \: ; y_0=-6 \: ; A=3 \: ; B=2 \: ; C=-1 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | 3\cdot 2+2\cdot (-6)-1 \right |}{\sqrt{3^2+2^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | 6-12-1 \right |}{\sqrt{9+4}} \)
\(d=\dfrac{\left | -7 \right |}{\sqrt{13}} \)
\(d=\dfrac{ 7 }{\sqrt{13}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{13}} \)
\(d=\dfrac{ 7\sqrt{13} }{13} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d=\dfrac{ 7\sqrt{13} }{13} \).
c)
\(-5x+10y=0\) \(x-2y+10=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=4\):
\(-5x+10y=0 \Rightarrow -5\cdot 4+10y=0\)
\(-20+10y=0\)
\(10y=20\)
\(y=2\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((4;2)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=4 \: ; y_0=2 \: ; A=1 \: ; B=-2 \: ; C=10 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | 1\cdot 4-2\cdot 2+10 \right |}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | 4-4+10 \right |}{\sqrt{1+4}} \)
\(d=\dfrac{\left | 10 \right |}{\sqrt{5}} \)
\(d=\dfrac{ 10 }{\sqrt{5}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{5}} \)
\(d=\dfrac{ 10\sqrt{5} }{5} \)
\(d= 2\sqrt{5} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d= 2\sqrt{5} \).
d)
\(x+y+6=0\) \(-x-y+7=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=1\):
\(x+y+6=0\Rightarrow 1+y+6=0\)
\(y=-1-6\)
\(y=-7\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((1;-7)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=1 \: ; y_0=-7 \: ; A=-1 \: ; B=-1 \: ; C=7 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | -1\cdot 1-1\cdot (-7)+7 \right |}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | -1+7+7 \right |}{\sqrt{1+1}} \)
\(d=\dfrac{\left | 13 \right |}{\sqrt{2}} \)
\(d=\dfrac{ 13 }{\sqrt{2}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{2}} \)
\(d=\dfrac{ 13\sqrt{2} }{2} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d=\dfrac{ 13\sqrt{2} }{2} \).
a) \(x+3y+6=0\) \(2x+6y+2=0\)
b) \(3x+2y+6=0\) \(3x+2y-1=0\)
c) \(-5x+10y=0\) \(x-2y+10=0\)
d) \(x+y+6=0\)\(-x-y+7=0\)
Aby rozwiązać zadanie, trzeba wiedzieć, że proste są do siebie równoległe. Wynika to z warunku równoległości prostych (muszą mieć taki sam współczynnik kierunkowy \(a\) ). Następnie znajdujemy dowolny punkt na jednej z prostych i obliczamy jego odległość od prostej korzystając w wzoru:
\(d=\dfrac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Rozwiązanie
a)
\(x+3y+6=0\) \(2x+6y+2=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=3\):
\(x+3y+6=0 \Rightarrow 3+3y+6=0\)
\(3y=-3-6\)
\(3y=-9\)
\(y=-3\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((3;-3)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=3 \: ; y_0=-3 \: ; A=2 \: ; B=6 \: ; C=2 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | 2\cdot 3+6\cdot (-3)+2 \right |}{\sqrt{2^2+6^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | 6-18+2 \right |}{\sqrt{4+36}} \)
\(d=\dfrac{\left | -10 \right |}{\sqrt{40}} \)
\(d=\dfrac{ 10 }{\sqrt{40}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{40}} \)
\(d=\dfrac{ 10\sqrt{40} }{40} \)
\(d=\dfrac{ \sqrt{40} }{4} \)
\(d=\dfrac{ 2\sqrt{10} }{4} \)
\(d=\dfrac{ \sqrt{10} }{2} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d=\dfrac{ \sqrt{10} }{2} \).
b)
\(3x+2y+6=0\) \(3x+2y-1=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=2\):
\(3x+2y+6=0 \Rightarrow 3\cdot 2+2y+6=0\)
\(6+2y+6=0\)
\(2y=-6-6\)
\(2y=-12\)
\(y=-6\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((2;-6)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=2 \: ; y_0=-6 \: ; A=3 \: ; B=2 \: ; C=-1 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | 3\cdot 2+2\cdot (-6)-1 \right |}{\sqrt{3^2+2^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | 6-12-1 \right |}{\sqrt{9+4}} \)
\(d=\dfrac{\left | -7 \right |}{\sqrt{13}} \)
\(d=\dfrac{ 7 }{\sqrt{13}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{13}} \)
\(d=\dfrac{ 7\sqrt{13} }{13} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d=\dfrac{ 7\sqrt{13} }{13} \).
c)
\(-5x+10y=0\) \(x-2y+10=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=4\):
\(-5x+10y=0 \Rightarrow -5\cdot 4+10y=0\)
\(-20+10y=0\)
\(10y=20\)
\(y=2\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((4;2)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=4 \: ; y_0=2 \: ; A=1 \: ; B=-2 \: ; C=10 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | 1\cdot 4-2\cdot 2+10 \right |}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | 4-4+10 \right |}{\sqrt{1+4}} \)
\(d=\dfrac{\left | 10 \right |}{\sqrt{5}} \)
\(d=\dfrac{ 10 }{\sqrt{5}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{5}} \)
\(d=\dfrac{ 10\sqrt{5} }{5} \)
\(d= 2\sqrt{5} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d= 2\sqrt{5} \).
d)
\(x+y+6=0\) \(-x-y+7=0\)
Z pierwszej funkcji obliczamy współrzędne dowolnego punktu np. dla \(x=1\):
\(x+y+6=0\Rightarrow 1+y+6=0\)
\(y=-1-6\)
\(y=-7\)
Obliczyliśmy współrzędne punktu leżącego na pierwszej prostej \((1;-7)\). Mając te dane, łatwo zauważyć, że \(x_0=1 \: ; y_0=-7 \: ; A=-1 \: ; B=-1 \: ; C=7 \). Następnie podstawiamy do wzoru:
\(d=\dfrac{\left | -1\cdot 1-1\cdot (-7)+7 \right |}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}} \)
\(d=\dfrac{\left | -1+7+7 \right |}{\sqrt{1+1}} \)
\(d=\dfrac{\left | 13 \right |}{\sqrt{2}} \)
\(d=\dfrac{ 13 }{\sqrt{2}}_{\:\: / \: \cdot \sqrt{2}} \)
\(d=\dfrac{ 13\sqrt{2} }{2} \)
Odpowiedź: Podane proste są oddalone od siebie o \(d=\dfrac{ 13\sqrt{2} }{2} \).
Jak obliczyć odległość punktu od prostej – zadanie 2 - wyniki