Rozwiąż równanie:
a) \(|x|=5\) b) \(|x|=7\) c) \(|x-5|=2\)
d) \(|x+9|=3\) e) \(|x+2|=-1\) f) \(\sqrt{(x+5)^2}=4\)
do rozwiązywania każdego z równań skorzystamy z twierdzenia:
\(|ax+b|=c \Leftrightarrow (ax+b=c \vee ax+b=-c)\)
poza tym, rozwiązujemy zwykłe równania.
Rozwiązanie
a)
\(|x|=5\)
\(x=5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=5\)
\(x=5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=-5\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x \epsilon \{-5;5\} \).
b)
\(|x|=7\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=7\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=-7\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x \epsilon \{-7;7\} \).
c)
\(|x-5|=2\)
\( x-5=2 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -( x-5)=2\)
\(x=2+5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x+5=2\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=2-5\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=-3\)
\( x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=3\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =7\) lub \(x=3\).
d)
\(|x+9|=3\)
\(x+9=3 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -(x+9)=3\)
\(x=3-9 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x-9=3\)
\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=3+9\)
\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=12\)
\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: x=-12\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =-12\) lub \(x=-6\).
e)
\(|x+2|=-1\)
W podanym przykładzie wartość bezwzględna ma być równa \(-1\), to nigdy nie będzie prawdą. Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązania.
Odpowiedź: Podane równanie nie ma rozwiązania.
f)
\(\sqrt{(x+5)^2}=4\)
Aby rozwiązać równanie trzeba pamiętać o zasadzie:
\(\sqrt{x^2}=|x|\)
więc:
\(|x+5|=4\)
\(x+5=4 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -(x+5)=4\)
\(x=4-5 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x-5=4\)
\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=4+5\)
\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=9\)
\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: x=-9\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =-1\) lub \(x=-9\).
Zadanie 2
Zadanie 3
a) \(|x|=5\) b) \(|x|=7\) c) \(|x-5|=2\)
d) \(|x+9|=3\) e) \(|x+2|=-1\) f) \(\sqrt{(x+5)^2}=4\)
do rozwiązywania każdego z równań skorzystamy z twierdzenia:
\(|ax+b|=c \Leftrightarrow (ax+b=c \vee ax+b=-c)\)
poza tym, rozwiązujemy zwykłe równania.
Rozwiązanie
a)
\(|x|=5\)
\(x=5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=5\)
\(x=5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=-5\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x \epsilon \{-5;5\} \).
b)
\(|x|=7\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=7\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=-7\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x \epsilon \{-7;7\} \).
c)
\(|x-5|=2\)
\( x-5=2 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -( x-5)=2\)
\(x=2+5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x+5=2\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=2-5\)
\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=-3\)
\( x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=3\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =7\) lub \(x=3\).
d)
\(|x+9|=3\)
\(x+9=3 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -(x+9)=3\)
\(x=3-9 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x-9=3\)
\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=3+9\)
\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=12\)
\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: x=-12\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =-12\) lub \(x=-6\).
e)
\(|x+2|=-1\)
W podanym przykładzie wartość bezwzględna ma być równa \(-1\), to nigdy nie będzie prawdą. Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązania.
Odpowiedź: Podane równanie nie ma rozwiązania.
f)
\(\sqrt{(x+5)^2}=4\)
Aby rozwiązać równanie trzeba pamiętać o zasadzie:
\(\sqrt{x^2}=|x|\)
więc:
\(|x+5|=4\)
\(x+5=4 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -(x+5)=4\)
\(x=4-5 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x-5=4\)
\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=4+5\)
\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=9\)
\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: x=-9\)
Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =-1\) lub \(x=-9\).
Zadanie 2
Zadanie 3
Jak obliczyć równania z wartością bezwzględną – zadanie 1 - wyniki