Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty – Zadanie 3 obliczenia

Sprawdź, czy punkty są współliniowe
a) \(A=(-2;-1) \:\:\: B=(-1;2) \:\:\: C=(0;5)\)

b) \(A=(-4;-2) \:\:\: B=(-3;1) \:\:\: C=(2,3)\)

c) \(A=(-5;-2) \:\:\: B=(-2;-1) \:\:\: C=(4,1)\)

d) \(A=(2;0) \:\:\: B=(7;1) \:\:\: C=(2,3)\)

Aby sprawdzić, czy trzy punkty leżą na jednej prostej należy z dwóch punktów wyznaczyć równanie prostej, następnie sprawdzić, czy na tej prostej leży punkt trzeci.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty ma postać:

\((y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0\)

Rozwiązanie
a)
\(A=(-2;-1) \:\:\: B=(-1;2) \:\:\: C=(0;5)\)

Obliczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\). W taki sposób, że:

\(A=(-2;-1) \Rightarrow x_A=-2 \:\: ; \:\: y_A=-1\)

\(B=(-1;2) \Rightarrow x_B=-1 \:\: ; \:\: y_B=2\)

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

\((y-(-1))(-1-(-2))-(2-(-1))(x-(-2))=0 \)

\((y+1)(-1+2)-(2+1)(x+2)=0 \)

\((y+1)\cdot 1-3(x+2)=0 \)

\(y+1-3x-6=0 \)

\(-3x +y-5=0 \)

Mając wzór funkcji, podstawiamy współrzędne trzeciego punktu.

\( C=(0;5) \Rightarrow x=0 \:\: ; \:\: y=5\)

\(-3x +y-5=0 \)

\(-3\cdot 0 +5-5=0 \)

\(0=0\)

Otrzymaliśmy wyrażenie prawdziwe, oznacza to, że trzeci punkt leży na prostej wyznaczonej przez dwa pierwsze punkty.
Odpowiedź: Punkty \(A\), \(B\), \(C\) są współliniowe.

b)
\(A=(-4;-2) \:\:\: B=(-3;1) \:\:\: C=(2,3)\)

Obliczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\). W taki sposób, że:

\(A=(-4;-2) \Rightarrow x_A=-4 \:\: ; \:\: y_A=-2\)

\(B=(-3;1) \Rightarrow x_B=-3 \:\: ; \:\: y_B=1\)

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

\((y-(-2))(-3-(-4))-(1-(-2))(x-(-4))=0 \)

\((y+2)\cdot 1-3(x+4)=0 \)

\(y+2-3x-12=0 \)

\(-3x+y-10=0 \)

Mając wzór funkcji, podstawiamy współrzędne trzeciego punktu.

\( C=(2;3) \Rightarrow x=2 \:\: ; \:\: y=3\)

\(-3x+y-10=0 \)

\(-3\cdot 2+3-10=0 \)

\(-6+3-10=0 \)

\(-13=0\)

Otrzymaliśmy wyrażenie sprzeczne, oznacza to, że trzeci punkt nie leży na prostej wyznaczonej przez pierwsze dwa punkty.
Odpowiedź: Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) nie są współliniowe, nie leżą na jednej prostej.

c)
\(A=(-5;-2) \:\:\: B=(-2;-1) \:\:\: C=(4,1)\)

Obliczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\). W taki sposób, że:

\(A=(-5;-2) \Rightarrow x_A=-5 \:\: ; \:\: y_A=-2\)

\(B=(-2;-1) \Rightarrow x_B=-2 \:\: ; \:\: y_B=-1\)

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

\((y-(-2))(-2-(-5))-(-1-(-2))(x-(-5))=0 \)

\((y+2)(-2+5)-(-1+2)(x+5)=0 \)

\((y+2)\cdot 3-1\cdot (x+5)=0 \)

\(3y+6-x-5=0 \)

\(-x+3y+1=0 \)

Mając wzór funkcji, podstawiamy do niej współrzędne trzeciego punktu.

\( C=(4;1) \Rightarrow x=4 \:\: ; \:\: y=1\)

\(-x+3y+1=0 \)

\(-4+3\cdot 1+1=0 \)

\(-4+3+1=0\)

\(0=0\)

Otrzymaliśmy wyrażenie prawdziwe, oznacza to, że trzeci punkt leży na prostej wyznaczonej przez dwa pierwsze punkty.
Odpowiedź: Punkty \(A\), \(B\), \(C\) są współliniowe.

d)
\(A=(2;0) \:\:\: B=(7;1) \:\:\: C=(2,3)\)

Obliczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\). W taki sposób, że:

\(A=(2;0) \Rightarrow x_A=2 \:\: ; \:\: y_A=0\)

\(B=(7;1) \Rightarrow x_B=7 \:\: ; \:\: y_B=1\)

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

\((y-0)(7-2)-(1-0)(x-2)=0 \)

\(y\cdot 5-1\cdot (x-2)=0 \)

\(5y-x+2=0 \)

Mając wzór funkcji, podstawiamy do niej współrzędne trzeciego punktu.

\( C=(2;3) \Rightarrow x=2 \:\: ; \:\: y=3\)

\(5y-x+2=0 \)

\(5\cdot 3-2+2=0 \)

\(15=0 \)

Otrzymaliśmy wyrażenie sprzeczne, oznacza to, że funkcja liniowa wyznaczona przez punkty \(A\) oraz \(B\) nie przechodzi przez punkt \(C\).
Odpowiedź: Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) nie są współliniowe, nie leżą na jednej prostej.