Zbadaj monotoniczność funkcji kwadratowej.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)
b) \(f(x)=5x^2-2\)
c) \(f(x)=x^2-3x-7\)
d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)
e) \(f(x)=90+x^2-3x\)
Zapamiętaj
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
lub
Monotoniczność zależy od parametru \(a\):
- dla \(a>0\) - funkcja rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)
- dla \(a<0\) - funkcja maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)
Rozwiązanie
a)
\(f(x)=2x^2+3x+7\)
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{3}{4} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\frac{3}{4};+\infty \right )\).
b)
\(f(x)=5x^2-2=\)
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty;0 \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( 0;+\infty \right )\).
c)
\(f(x)=x^2-3x-7\)
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; 1\frac{1}{2} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left (1\frac{1}{2};+\infty \right )\).
d)
\(f(x)=3x-2x^2-8\)
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; -\frac{3}{4} \right \rangle\), funkcja jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\frac{3}{4};+\infty \right )\).
e)
\(f(x)=90+x^2-3x\)
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; 1\frac{1}{2} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left (1\frac{1}{2};+\infty \right )\).
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)
b) \(f(x)=5x^2-2\)
c) \(f(x)=x^2-3x-7\)
d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)
e) \(f(x)=90+x^2-3x\)
Zapamiętaj
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
lub
Monotoniczność zależy od parametru \(a\):
- dla \(a>0\) - funkcja rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)
- dla \(a<0\) - funkcja maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)
Rozwiązanie
a)
\(f(x)=2x^2+3x+7\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=2\) oraz \(x_w=-\frac{3}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{3}{4} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\frac{3}{4};+\infty \right )\).
b)
\(f(x)=5x^2-2=\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=5\) oraz \(x_w=-\frac{0}{2\cdot 5}=0\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty;0 \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( 0;+\infty \right )\).
c)
\(f(x)=x^2-3x-7\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=1\) oraz \(x_w=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; 1\frac{1}{2} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left (1\frac{1}{2};+\infty \right )\).
d)
\(f(x)=3x-2x^2-8\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=-2\) oraz \(x_w=-\frac{3}{2\cdot (-2)}=-\frac{3}{4}\). Funkcja posiada ramiona skierowane w dół, więc najpierw jest rosnąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest malejąca.
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; -\frac{3}{4} \right \rangle\), funkcja jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\frac{3}{4};+\infty \right )\).
e)
\(f(x)=90+x^2-3x\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=1\) oraz \(x_w=-\frac{-3}{2\cdot 1}=1\frac{1}{2}\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; 1\frac{1}{2} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left (1\frac{1}{2};+\infty \right )\).
Jak obliczyć wykres funkcji kwadratowej – zadanie 3 - wyniki