Geometria analityczna

Geometria analityczna - związana jest z umieszczonymi w kartezjańskim układzie współrzędnych figur geometrycznych, odcinków i prostych. Geometria analityczna umożliwia nam wyliczenie:

  • długości odcinka  \(\overrightarrow{AB}\)  znając współrzędne początku tego wektora A = (x1, x2) oraz końca B = (y1, y2)  

 \(|AB|= {\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} }\)

 

Przykład 1. Wyznacz długość odcinka o współrzędnych A = (1, -5) oraz B = (2, 3)

\(|AB|= {\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} }\)

\(|AB|= {\sqrt{(2-1)^2+(3-(-5))^2} } = {\sqrt{1^2+8^2} }= {\sqrt{1+64} }= {\sqrt{65} }\)

Odcinek \(\overrightarrow{AB}\) ma długość \({\sqrt{65} }\)  

  • Środek odcinka \(\overrightarrow{AB}\)  znając współrzędne początku tego wektora A = (x1, x2) oraz końca B = (y1, y2)

\(S =( {x_1+x_2 \over 2}+​ {y_1+y_2 \over 2})\)

Przykład 2. Wyznacz środek odcinka o współrzędnych A = (1, -5) oraz B = (2, 3)

\(S =( {x_1+x_2 \over 2}+​ {y_1+y_2 \over 2})\)

\(S =( {1+2 \over 2},​ {-5+3 \over 2})=({3 \over 2},{-2 \over 2})=(1{1 \over 2},-1)\)

  • odległość punktu P (x,y) od prostej l wyrażonej w postaci ogólnej prostej tzn: Ax + By + C = 0

\(d = {|Ax+By+C| \over {\sqrt{A^2+B^2} }}\)

Przykład 3. Oblicz odległość punktu A = (3, 4) od  prostej y = 2x + 3

przekształcam równanie prostej do postaci ogólnej Ax + By + C = 0 i otrzymuję 2x - y + 3 = 0 i podstawiam do wzoru

\(d = {|Ax+By+C| \over {\sqrt{A^2+B^2} }}\)

\(d = {|2*3-1*4+3| \over {\sqrt{2^2+(-1)^2} }}={|6-4+3| \over {\sqrt{4+2} }}={|5| \over {\sqrt{5} }}={5 \over {\sqrt{5} }}\)